Здравствуйте. Недавно в книге по численным методам встретил утверждение:
"Известно, что для симметричной положительно определенной матрицы

справедливо неравенство

".
Доказательства там не приводилось; просмотрел несколько книг по линейной алгебре, обнаружил там следующих факты:
В силу симметричности матрицы

линейный оператор

является самосопряженным; рассматривая вопрос о нахождении экстремума квадратичной формы

на единичной сфере с центром в начале координат

, получаем, что минимум и максимум достигаются на максимальном и минимальном собственных значениях оператора

, т.е.

при

.
Как теперь "добавить" сюда скалярное произведение

, избавившись при этом от ограничения

, чтобы доказать исходное равенство? Я так понимаю, что где-то нужно будет нужно использовать факт

, являющийся следствием положительной определенности матрицы

? Если просто домножить все части неравенства на скалярное произведение

, то мне такой ход почему-то кажется ошибочным с силу своей тривиальности. Или, может быть, я выбрал неверный путь?
Всем заранее огромное спасибо!