Стакан воды, динозавры и теория вероятностей

[Ktina]

С трудом верится в то, что...

Цитата:

Вероятность того, что в стакане воды, которую вы пьете, содержится молекула воды, которая побывала в теле динозавра, — почти 100%.

Как именно "они" подсчитали эту самую вероятность? А может, просто очередной фейк?

GAA:

Удалены последовавшие за стартовым сообщением сообщения злостного клона и комментарии этих сообщений.

[mihaild]

Кажется, что важны не объемы, а число молекул - если всего на Земле $n$ молекул воды, в телах динозавров побывало $a$, а в стакане воды $b$ молекул, то вероятность пересечения равна $1 - \frac{C_n^a C_{n - a}^b}{C_n^{a + b}}$, что, если $a$ и $b$ малы по сравнению с $n$, примерно равно $1 - e^{\frac{ab}{n}}$ (если я нигде не обсчитался) - и существенно зависит не только от доли молекул в каждой из выборок, но и от общего их числа.

[Sender]

Вообще, раз речь о молекулах, а не об атомах, нелишне помнить, что молекулы времён Юлия Цезаря и т.п. могли за прошедшие годы вступать в химические реакции. По-моему, вероятность того, что те же три атома, которые тысячи лет назад были одной молекулой воды, сегодня вновь собрались в том же качестве, вряд ли так уж велика.

[realeugene]

А по-моему, принцип неотличимости квантовых частиц не позволяет отличить одни молекулы воды от других, состоящих из таких же атомов. Так что, исходный вопрос бессмысленный.

[arseniiv]

rockclimber в сообщении #1236038 писал(а):

А давайте еще вспомним про квантовую механику, которая утверждает, что атомы и молекулы принципиально неразличимы

realeugene в сообщении #1236050 писал(а):

А по-моему, принцип неотличимости квантовых частиц не позволяет отличить одни молекулы воды от других, состоящих из таких же атомов. Так что, исходный вопрос бессмысленный.

Тоже хотел написать об этом вчера, но потом подумал, что при желании можно взять менее распространённые изотопы. Может, даже относительно стабильные попадутся. В любом случае даже с таким изменением соглашусь, что практических применений у таких «фактов» нет, в отличие от вещей, использованных для их получения (характеристики атмосферы, гидросферы etc. etc.), и других их следствий типа использования соотношений изотопов для датирования.

[Denis Russkih]

realeugene в сообщении #1236050 писал(а):

А по-моему, принцип неотличимости квантовых частиц не позволяет отличить одни молекулы воды от других, состоящих из таких же атомов. Так что, исходный вопрос бессмысленный.

Но ведь у каждой частицы есть своя мировая линия, разве нет? Именно мировыми линиями они и различаются. Или я не прав?

[realeugene]

Denis Russkih в сообщении #1236381 писал(а):

Но ведь у каждой частицы есть своя мировая линия, разве нет? Именно мировыми линиями они и различаются. Или я не прав?

В квантовой механие наивное представление о частицах как точках с определёнными мировыми линиями перестаёт работать. Например, потому, что в принципе навозможно непрерывно наблюдать за частицей, чтобы увидеть её непрерывную мировую линию.

[NikolayPrimachenko]

realeugene
А играют ли в этом вопросе какую-то роль разные виды статистик? Ведь молекулы воды, скорее всего, описываются статистикой Максвелла-Больцмана (или чем-то похожим), а не Бозе-Эйнштейна, и поэтому, по идее, должны быть различимыми.

Я опираюсь только на книжку Секей "Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике", где об этом упоминается в первом парадоксе. И просто из любопытства присоединяю свой вопрос к интересному вопросу by Denis Russkih.

[arseniiv]

realeugene
Даже, допустим, у нас бывают состояния, где частица движется по мировой линии, не расплываясь — всё равно неразличимость никуда не денется, потому что статистики Бозе—Эйнштейна и Ферми—Дирака никто не отменял, хотя такая гипотетическая теория, совмещающая то и это, наверняка противоречива.

NikolayPrimachenko
Если брать молекулы воды в одинаковом внутреннем состоянии, это будут тождественные частицы. В физике адронов, например, связанные состояния одного и того же набора кварков, но с разными энергиями, называют разными буквами. В химии так делать уже не очень удобно, но потребность их отличать есть часто, потому что от этого может зависеть, что произойдёт, а что нет.

Но тут кто-нибудь получше напишет.

[realeugene]

NikolayPrimachenko в сообщении #1236446 писал(а):

А играют ли в этом вопросе какую-то роль разные виды статистик? Ведь молекулы воды, скорее всего, описываются статистикой Максвелла-Больцмана (или чем-то похожим), а не Бозе-Эйнштейна, и поэтому, по идее, должны быть различимыми.

Нет, не играют. Статистику Максвелла-Больцмана в квантах можно встретить только как предельный переход других статистик для случая большого числа частиц и некоторых других ограничениях. И для неразличимых частиц.

-- 28.07.2017, 18:02 --

arseniiv,
если бы можно было отследить мировую линию каждой частицы, то можно было бы, хотя бы в принципе, пронумеровать их мировые линии. И тогда можно было бы отличить частицы друг от друга по их мировым линиям. В конце концов, вопрос про динозавра можно было бы переформулировать в терминах мировых линий молекул воды.

[NikolayPrimachenko]

realeugene, arseniiv
Про кванты я понял. Но я не понял, можно ли приложить статистику Бозе-Эйнштейна к молекулам воды? Если различие в статистиках должно как-то проявляться в макроскопических параметрах (может, теплоемкость или еще что-то будет сильно отличаться при разных статистиках), то выбрать можно не любую модель. А с моделью будет идти "в довесок" и различимость/неразличимость молекул.

Вот сейчас я точнее сформулировал, как мне кажется. Выбор статистики же не является произвольным? Или является?

[Denis Russkih]

realeugene в сообщении #1236414 писал(а):

Denis Russkih в сообщении #1236381 писал(а):

Но ведь у каждой частицы есть своя мировая линия, разве нет? Именно мировыми линиями они и различаются. Или я не прав?

В квантовой механие наивное представление о частицах как точках с определёнными мировыми линиями перестаёт работать. Например, потому, что в принципе навозможно непрерывно наблюдать за частицей, чтобы увидеть её непрерывную мировую линию.

Да ну? Мне казалось, что пусть не чёткая мировая линия, но некий пучок линий (выглядящий издалека как одна линия) всё же имеется, свой собственный у каждой частицы. Например, если стакан с водой едет на столике в поезде, то не только про эту воду в целом, но и про каждую отдельную её молекулу можно примерно сказать, где она находится, куда и с какой скоростью движется. (Находится она в стакане и движется со скоростью поезда. Ну, в среднем. Всякие тепловые колебания не учитываем.)

Если же у частиц в принципе нет сколь-нибудь чёткой мировой линии, то из этого, ну не знаю, вытекает какая-то бредовая гомеопатия. :)

В самом деле, представим, что у нас есть полный стакан с лекарственным раствором. Мы половину раствора выливаем в один такой же стакан, а другую половину — в другой такой же стакан. И в каждый из этих двух стаканов доливаем воды доверху, перемешивая. Таким образом, у нас теперь есть два стакана, в каждом половина от исходной концентрации действующего вещества. Повторяя операцию для каждого из этих двух стаканов, получаем уже четыре стакана, с четвертью исходной концентрации действующего вещества в каждой. Повторяя операцию для каждого из четырёх стаканов, получаем восемь стаканов с одной восьмой от исходной концентрации. И так далее, в геометрической прогрессии плодим стаканы, уменьшая концентрацию действующего вещества в той же геометрической прогрессии. На $n$-ном шаге получаем $2^n$ стаканов, в каждом имеется $\dfrac{1}{2^n}$ от исходной концентрации действующего вещества.

Занимаясь этим делом достаточно долго, мы получаем офигенное количество стаканов, в каждом из которых вероятность найти хоть одну молекулу действующего вещества будет довольно мала.

А теперь скажите мне, пожалуйста, как будут выглядеть мировые линии каждой из частиц действующего вещества — начиная с самого первого, исходного стакана?.. Будет ли мировая линия каждой отдельно взятой частицы разветвляться на множество стаканов, или всё же она будет каждый раз проходить только через один конкретный стакан?

Если мы не можем утверждать о наличии частицы в стакане, пока она не провзаимодействует с нашим детектором, то что же, получается, волновая функция каждой частицы распределяется на много стаканов?.. И только если мы поймаем данную частицу в одном из стаканов, то во всех остальных стаканах вероятность её обнаружения станет равной нулю?..

Но тогда получается, что как бы сильно мы ни разбавляли раствор, в нём всё равно будет "потенциально присутствовать" каждая из молекул исходного раствора?.. Некоторая часть траекторий каждой частицы будет проходить через этот стакан с ненулевой вероятностью?.. И мы получаем удивительный раствор, в котором вроде как действующего вещества совсем нет — но в то же время любая из его молекул может обнаружиться в растворе в любой момент, и тогда окажется, что она "просто хорошо пряталась". Волшебный "квантовый" раствор, м-м. Получается какое-то "квантовое обонование" гомеопатии, можно бежать создавать тему для Пургатория. :)

Или всё же каждая отдельная частица действующего вещества имеет сравнительно чёткую траекторию из начального стакана в один из конечных стаканов, нигде не проходя через несколько стаканов одновременно? И тогда этот уникальный путь частицы как раз и отличает её от других частиц. :)

[realeugene]

NikolayPrimachenko в сообщении #1236455 писал(а):

Выбор статистики же не является произвольным? Или является?

Простите, а вы знакомы с термином "предельный переход"?

-- 28.07.2017, 18:22 --

Denis Russkih в сообщении #1236459 писал(а):

Да ну? Мне казалось

Ну да. Вам казалось.

PS Не является ли обсуждение физики в "Свободном полёте" оффтопиком?

[atlakatl]

realeugene в сообщении #1236460 писал(а):

Не является ли обсуждение физики в "Свободном полёте" оффтопиком?

У физики и математики на данном сайте индульгенция. А в связи с темой это даже поощряется.

-- 28.07.2017, 22:41 --

Denis Russkih
Откуда вообще взялся этот тезис про "невозможно проследить мировую линию"?
Вот молекула воды. Две водородины и кислород. Можно предложить интерпретацию, мол, водородины размазываются в общем облаке и разобрать, какая из них отделилась при разложении, невозможно.
А теперь возьмём ДНК. Миллионы атомов и структура. Объединить все углерод, кислород, водород в "общее" облако не получится.
Ну а выдумывать границу между общим и частным неразумно.
Вывод: мировая линия у ядер атомов есть.

[NikolayPrimachenko]

realeugene в сообщении #1236460 писал(а):

NikolayPrimachenko в сообщении #1236455 писал(а):

Выбор статистики же не является произвольным? Или является?

Простите, а вы знакомы с термином "предельный переход"?

Очень поверхностно знаком. Но и вопрос такой: а не становятся ли частицы различимыми в пределе, когда их много, как обычно и бывает в макроскопических случаях, или когда они взаимосвязаны, как в атомах и молекулах? Ведь даже в молекуле воды частиц довольно много. А если молекул тоже много?

(Вы не думайте, пожалуйста, что я хочу Вас "достать" своими вопросами. Я из любопытства поинтересовался. Если не хотите отвечать на мои вопросы, то не нужно. Я понимаю, что вопросы мои могут быть очень глупыми. Если так, то прошу извинить.)