Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка

[DeBill]

Что-то больно толстая линейчатая поверхность получается....
Пусть наша пара эллипсоидов - две одинаковых сферы.
Возьмем палочку, и бум переносить ее параллельно себе, пока она не коснется обоих шаров. Тут то мы ее и повращаем вокруг осевой линии шаров - и получим честный однополостный гиперболоид. НО: чем "непараллельнее" осевой линии начальная палочка, тем "ниже" она опустится, и тем "ближе" окажется в момент двойного касания к осевой линии. И тем самым, тем уже окажется "поясок" гиперболоида (состоящий из точек, наиближайших к оси). Значит, гиперболоиды получаются - разные, и мы получили целую тучу гиперболоидов (составленных из общих касательных), образующих некое трехмерное таки тело...

-- 27.07.2017, 00:48 --

А хорошая задача - в качестве (анти) иллюстрации к тезису студентов "а на френа нам все эти ваши матанализы и ангемы: компутер мне и так все нарисует "

[redicka]

DeBill , если сферы то да-будут однополостные гиперболоиды вращения или конус, в случае эллипсоидов - вращения "палочки" не
получится. Получается поверхность, изображенная на картинке.
Поверхность не толстая - она самопересекающаяся и имеет две полости, пересекающиеся по кривой.

[redicka]

Вот часть поверхности, отсеченная плоскостью $x=0$. Для лучшего обзора.

[DeBill]

redicka
Да нет же! Просто в Вашей программе, видимо, рассматриваются не все касательные, а лишь какого-то специального вида....
Для эллипсоидов: Возьмем произвольно точку $P$, и проведем из нее все касательные к первому эллипсоиду. Они образуют конус; рассмотрим его пересечение с единичной сферой с центром в $P$. Оно состоит из пары овалов. Построим такой же конус (и пару овалов) для второго эллипсоида. Будем двигать точку $P$ и посмотреть на овалы. Более-менее ясно, что для некоторого ее положения $P_0$, овалы пересекаются. Значит, через $P_0$ проходит общая касательная (она просто есть прямая из пересечения конусов). Пошевелим точку $P_0$; овалы чуток изменятся, но их пересекаемость не исчезнет. Это означает, что через все точки, достаточно близкие к $P_0$, проходит общая касательная. Так что "поверхность" имеет внутренние точки (трехмерна).

[redicka]

DeBill , речь идет о задаче, поставленной ТС.
Вот картинка, на ней написаны мои замечания.

[lel0lel]

redicka в сообщении #1236353 писал(а):

Вот картинка, на ней написаны мои замечания

Дело в том, что, как Вы сами указали на картинке, эллипсоиды в Ваших рассуждениях катаются по плоскости, а через точки касания проводите прямые. Но это слишком жёсткое условие для существования общей касательной. Нужно было "катать" по прямой. Нагляднее, конечно, прямую катать по нашим эллипсоидам. Представляем, что у нас в руках бабушкина спица и вперед. Становится очевидным, что есть бесконечное число касательных, пересекающих изображенную Вами поверхность (на что указал DeBill). Кроме того, существуют касательные к линиям пересечения эллипсоидов.

Если есть желание изучить все семейство касательных, то можно поступить так:
выберем систему координат таким образом, что один из эллипсоидов превращается в сферу единичного радиуса, а центр другого расположен на оси $z$;
уравнение прямой запишем в виде $y=k_1 x+b_1$, $z=k_2 x+b_2$;
ищем решение следующих двух систем уравнений с переменными $x, y, z$:
$\begin{cases} x^2/a^2+y^2/b^2+(z-z_0)^2/c^2=1, \\ y=k_1 x+b_1, \\ z=k_2 x+b_2. \end{cases}\,\,\,\,\, \begin{cases} x^2+y^2+z^2=1, \\ y=k_1 x+b_1, \\ z=k_2 x+b_2. \end{cases} $
приравниваем получившиеся дискриминанты к нулю, что позволит нам исключить два параметра из искомой касательной, например $k_1, k_2$. В итоге получим двухпараметрическое решение.

[redicka]

lel0lel , спасибо за разъяснения. Я исходил еще из того, что через каждую касательную прямую можно было провести плоскость, касательную к обеим эллипсоидам.

-- 28.07.2017, 10:02 --

Для сфер просто и понятно (кстати, для сфер с общим центром задача не имеет смысла). Все касательные поверхности к обеим сферам представляют собой семейство однополостных гиперболоидов вращения, заключенных между предельными конусами.
На картинке один из таких гиперболоидов.

[INGELRII]

Ну вот отсюда и заблуждение, это ведь неверно. Плоскость, касающаяся первого эллипсоида, однозначно задана точкой касания. С какого она вдруг обязана касаться также и второго эллипсоида, нам такого никто не обещал. "Плоскость, касающаяся данного эллипсоида, касается также и любого другого эллипсоида" - это, кхм, смелое утверждение.

Это я про "через каждую касательную прямую можно было провести плоскость, касательную к обеим эллипсоидам.", а не про дальнейшее.

(Оффтоп)

Блин, сломалась кнопка цитаты. Теперь я опять не могу цитировать.

[redicka]

INGELRII , я Вас не понял. Выше я сказал, что я искал такие касательные к эллипсоидам с общим центром, чтобы через каждую из них можно провести плоскость касательную к обеим эллипсоидам. В чем заблуждение?
Конечно, мое заявление (на картинке), что других касательных прямых не существует неверно, но таких, что через них можно провести плоскость,
касательную к обеим эллипсоидам - верно.

[INGELRII]

В том, что плоскость задается какой-нибудь своей точкой (к примеру, той, в которой о6а касается эллипсоида) и вектором нормали (который совпадает с нормалью к эллипсоиду в точке касания). Затем мы берем совершенно левый эллипсоид, который имеет с этой плоскостью общую точку и ожидаем, что в этой точке вектор нормали ко второму эллипсоиду будет тем же самым - а почему это вдруг? Скорее наоборот, он почти никогда не будет таким же.

Ну или может так будет понятнее: возьмем на первом эллипсоиде точку $M$, такую что касательная плоскость $P$ в ней к первому эллипсоиду пересекает второй эллипсоид. Такие точки есть, и их целая куча. Кривой пересечения будет эллипс. Проведем из нашей точки $M$ к нему касательную прямую $a$. Эта касательная $a$ и будет любезной нашему сердцу прямой, касающейся одновременно обоих эллипсоидов. Но очевидно, что плоскость $P$ никак не может быть касательной ко второму эллипсоиду, коль скоро она его пересекает - касательная к эллипсоиду имеет с ним всегда ровно одну общую точку!

А вот вам, кстати, и простой способ строить прямые, касающиеся обоих эллипсоидов: берем любую плоскость, пересекающую их обоих. Линиями пересечения будут два эллипса. Строим в нашей плоскости общую касательную этих двух эллипсов. Готово.

Собственно, как я понимаю, это работает вообще для произвольных двух гладких поверхностей.

[redicka]

INGELRII, я совершенно не понимаю предмет Вашего ( нашего) обсуждения.
Вы можете четко сформулировать - в чем мое заблуждение

[INGELRII]

В том, что касательная к двум эллипсоидам обязательно лежит в плоскости, также касательной к ним. На самом деле почти никогда. Это я и иллюстрирую.

[redicka]

А я такого никогда не заявлял!
Я сказал, что искал такие касательные прямые к двум эллипсоидам , каждая из которых лежит в касательной плоскости к обеим эллипсоидам.
И показал на картинке такие касательные прямые и поверхность (линейчатую, которую эти касательные образовали) и все.

[INGELRII]

А! Понял, кажется. Вы имеете в виду поверхность, образованную именно такими касательными прямыми, которые лежат в плоскостях, также касательных обоим эллипсоидам. Но чтобы понять это до Вашего последнего поста, мне пришлось бы прибегнуть к телепатии, а я стараюсь кастовать это заклинание пореже, на него тратится слишком много маны.

Но тогда уже я не понял замечаний предыдущих дискуссантов. Ведь такая поверхность и впрямь единственна. Вот множество вообще всех касательных - оно да, заметает некую трехмерную область в пространстве.

(Оффтоп)

Вы выбрали для своего графика чудесный хостинг, должен заметить. Фотографии голых девок служат для графика подходящим дополнением.

[redicka]

Ну, наконец-то.! Между прочим, гиперболоид для двух сфер я строил по предложенному Вами способу - пресек сферы плоскостью параллельной
пл. XOZ - получил две окружности; нашел общую касательную к обеим окружностям и далее завращал касательную (отрезок между точками касания)
вокруг оси OZ - получился вот такой, симпатичный, однополостный гиперболоид вращения (один из бесконечного числа).
Можно было вращать и плоскую гиперболу, которая однозначно определяется отрезком между точками касания сфер.