Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка

[dima_1985]

Вот для двух мерного случая я должен написать $\frac{\frac{2x}{20}}{\frac{2x}{80}}=\frac{\frac{2y}{5}}{\frac{8y}{5}}$. Упростим и получим $\frac{4}{1}\neq\frac{1}{4}$. Для равенства умножим $4$ на $\frac{1}{16}$.Тогда в качестве направляющего вектора прямой можно использовать либо $(\frac{2}{20},\frac{2}{5})$ или $(\frac{32}{80},\frac{8}{5})$.Вроде так ?

[redicka]

Уравнение одной из касательных
$x+4y-10=0$
остальные касательные симметричны приведенной относительно координатных осей.
См.картинку.

[dima_1985]

redicka
Я тут не прав надо было раньше написать. Я решил уже для $2$ мерного случая. У меня получилось $y=\frac{1}{4}x+\frac{5}{2},y=\frac{1}{4}x-\frac{5}{2},y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{2},y=-\frac{1}{4}x-\frac{5}{2}$, тут я искал решение в виде $y=kx+b$.Можно сделать так

dima_1985 в сообщении #1233492 писал(а):

вектора прямой можно использовать либо $(\frac{2}{20},\frac{2}{5})$

Вид касательной $\frac{2}{20}(x-x_0)+\frac{2}{5}(x-y_0)=0$. Точку можем найти из системы $\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{x_0^2}{20}+\frac{y_0^2}{5}&=&1 \\ \frac{x_0}{2}&=&\frac{y_0^}{2} \\ \end{array} \right.$. Можно решать методом предложенным svv, но он трудоемкий. Правда я довел его до конца(Получил несколько наборов типа ${x_0=2,y_0=2,x_1=8,y_1=0.5}$ и т.д). По ним построить касательные. Меня больше интересуют разные подходы для решения задач. Вот для

dima_1985 в сообщении #1233197 писал(а):

$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}+\frac{z^2}{2}=1$ и $\frac{x^2}{80}+\frac{4y^2}{5}+\frac{z^2}{3}=1$

есть пока вопросы я нашел касательную плоскость для своих эллипсоидов $N(\frac{2}{5},\frac{8}{5},4)$ ? Потом составил систему $\left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 16y\\ 3x &=& 8z\\ \frac{x^2}{80}+\frac{4y^2}{5}+\frac{z^2}{3} &=& 1 \end{array} \right.$. Решив систему, напишем уравнение касательных $\frac{2}{5}(x\pm4)+\frac{8}{5}(y\pm \frac{1}{4})+4(z \pm \frac{3}{2})$?

[redicka]

dima_1985, касательных плоскостей бесконечно много - пару эллипсоидов можно катать по плоскости.
Здесь будут касательные конусы ( а может и не конус, а однополостные гиперболоиды), вот уравнения их и нужно найти.

[redicka]

dima_1985 , касательных плоскостей к эллипсоидам бесконечно много.
На картинке одна из них, выбранная случайно.Так что нет смысла заниматься касательными плоскостями.

[dima_1985]

redicka
Да, я это понял после

redicka в сообщении #1233706 писал(а):

Здесь будут касательные конусы ( а может и не конус, а однополостные гиперболоиды)

А в какой программе вы рисуете ? У меня wolframalpha не хочет несколько поверхностей рисовать? Что если так, возьмем два эллипсоида $\frac{(x-5)^2}{20}+\frac{(y-8)^2}{5}+\frac{(z-2)^2}{2}=1,\frac{(x-20)^2}{80}+\frac{4(y-30)^2}{5}+\frac{(z-10)^2}{3}=1 $ и возьмем прямую $\frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-5}{4}$ и найдем точки пересечения совместной касательной( не знаю как назвать т.е прямая которая касается эллипсоидов) и заданной прямой, их вряд ли будет больше $4$. Вот так корректно ?

[redicka]

dima_1985, поверхности сделаны в Маткаде.
Вопроса вашего я не понял?

[dima_1985]

Задача стоит так найти точку(и) на прямой

dima_1985 в сообщении #1233768 писал(а):

$\frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-5}{4}$

касательные из которой к эллипсоидам

dima_1985 в сообщении #1233768 писал(а):

$\frac{(x-5)^2}{20}+\frac{(y-8)^2}{5}+\frac{(z-2)^2}{2}=1,\frac{(x-20)^2}{80}+\frac{4(y-30)^2}{5}+\frac{(z-10)^2}{3}=1 $

равны ? Вот так задача корректно поставлена ?

[redicka]

А чем особенна эта прямая?
И какое отношение эта задача имеет к ранее поставленным?
См.картинку.

[redicka]

Оказывается поверхность, касающаяся обоих эллипсов не конус и не однополостный гиперболоид.
На картинке изображены касательные, которые образуют эту поверхность.


-- 16.07.2017, 23:00 --

Вот кусок поверхности, заключенный между точками (кривыми) в которых эта поверхность касается эллипсоидов.

[dima_1985]

redicka в сообщении #1233815 писал(а):

А чем особенна эта прямая?

Ничем Вы можете задать свою, если хотите? Я взял эту прямую из головы.

redicka в сообщении #1233815 писал(а):

И какое отношение эта задача имеет к ранее поставленным?

Никакого просто Вы писали

redicka в сообщении #1233753 писал(а):

Так что нет смысла заниматься касательными плоскостями

. Я немного разобрался на плоскости как нормали и касательные находить теперь хочется понять как это будет в пространстве. И пришла идея

dima_1985 в сообщении #1233799 писал(а):

Задача стоит так найти точку(и) на прямой dima_1985 в сообщении #1233768

писал(а):
$\frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-5}{4}$ касательные из которой к эллипсоидам dima_1985 в сообщении #1233768

писал(а):
$\frac{(x-5)^2}{20}+\frac{(y-8)^2}{5}+\frac{(z-2)^2}{2}=1,\frac{(x-20)^2}{80}+\frac{4(y-30)^2}{5}+\frac{(z-10)^2}{3}=1 $ равны ?

Мне интересны подходы к решению задач. Если у Вас есть желание поменять исходные данные я возражать не буду. Спасибо за графики !!!

[redicka]

Здесь поверхность, касающаяся обеих эллипсоидов, изображена по-лучше.
Это линейчатая поверхность.

[svv]

redicka в сообщении #1234091 писал(а):

Это линейчатая поверхность.

Почти по определению, верно? Это же семейство прямых линий.

[redicka]

А вот отсеченная правая часть.В сечении криволинейный четырехугольник.
Вроде простая задача для гладких непрерывных поверхностей, а привела к такой странной поверхности - самопересекающейся.

[redicka]

Поверхность похожа на эллиптический параболоид, но , как известно, на эллиптическом параболоиде нет прямолинейных образующих.
Кто-нибудь может прояснить ситуацию?



Вопрос снимается - в сечении плоскостями параллельными XOZ - не эллипсы.