Интеграл и площадь фигуры

[Alejandros]

Добрый день!
Очень нужна помощь в нахождении следующего интеграла:
$\int\frac{(x^3-1)dx}{4x^3-x}$

У меня сомнения насчет метода, которым я пользуюсь, а именно, я считаю этот интеграл как рациональную дробь: раскладываю знаменатель на множители $4x^3-x = x(2x-1)(2x+1)$ и с помощью метода неопределенных коэффициентов нахожу, что $\int\frac{(x^3-1)dx}{4x^3-x} = \int\frac{dx}{x} - \frac{7}{8}\int\frac{dx}{2x-1} - \frac{9}{8}\int\frac{dx}{2x+1} = \ln x - \frac{7}{16}\ln|2x-1| - \frac{9}{16}\ln|2x+1|$. В ответах то же самое, только там еще есть слагаемое $\frac{x}{4}$ и я не понимаю, откуда оно берётся. В принципе дробь не совсем правильная, числитель и знаменатель одинаковой степени, может быть в этом и есть ошибка?

И еще одно - задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. И дана фигура $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$. Может ли здесь, фактически в задаче на нахождение интеграла, быть такое задание, или это похоже на опечатку?

Заранее спасибо за ответы.

[zoo]

Alejandros писал(а):

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. И дана фигура $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$

площадь эллипса можно в две строчки найти элементарными школьными методами, уметь интегрировать не надо

[Alejandros]

Поэтому я и не понимаю, зачем это задание в теме "Интеграл", при том что в остальных вариантах даны кривые вроде $y = x^2 + 1, y = x+1$, что вполне нормально для такой темы и вполне можно применять интегрирование. Может быть, это задание при наборе нечаянно попало из раздела по аналитической геометрии

[Brukvalub]

Alejandros писал(а):

В принципе дробь не совсем правильная, числитель и знаменатель одинаковой степени, может быть в этом и есть ошибка?

Да, именно в этом и ошибка. Вы неверно разложили, что легко проверить, приведя дроби к общему знаменателю.

Alejandros писал(а):

И еще одно - задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. И дана фигура $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$. Может ли здесь, фактически в задаче на нахождение интеграла, быть такое задание, или это похоже на опечатку?

Это не опечатка, а стандартное упражнение.

[Alejandros]

То есть надо искать площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми: $y = \sqrt{4 - \frac{x^2}{4}}$ и

$$y = -\sqrt{4 - \frac{x^2}{4}}$$

, фактически два интеграла $\int\limits_{-2}^2 \sqrt{4 - \frac{x^2}{4}}$ и $\int\limits_{-2}^2 \sqrt{4 - \frac{x^2}{4}}$?

А в первом задании наверное правильно будет разложить числитель на множители и посчитать интегралы от двух правильных дробей: $\frac{x-1}{4x^3-x}$ и $\frac{x^2+x+1}{4x^3-x}$?

[Brukvalub]

Alejandros писал(а):

То есть надо искать площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми: $y = sqrt{4 - \frac{x^2}{4}}$ и

$$y = -sqrt{4 - \frac{x^2}{4}}$$

?

Да.

Alejandros писал(а):

А в первом задании наверное правильно будет разложить числитель на множители и посчитать интегралы от двух правильных дробей

Нет, нужно сначала разделить числитель на знаменатель с остатком - получится число и правильная дробь, которую далее нужно представить в виде суммы простейших дробей.

[Alejandros]

А разве можно разделить один многочлен на другой, если у них одинаковые степени? Если я делю $x^3-1$ на $4x^3-x$, то мне надо найти такое число, при умножении которого на $4x^3-x$ и вычитании результата из $x^3-1$ я получу остатком число? Разве здесь это возможно?

[Trotil]

Возможно. Попробуй.

[Brukvalub]

Alejandros писал(а):

А разве можно разделить один многочлен на другой, если у них одинаковые степени? Если я делю $x^3-1$ на $4x^3-x$, то мне надо найти такое число, при умножении которого на $4x^3-x$ и вычитании результата из $x^3-1$ я получу остатком число?

Число будет неполным частным, а остатком будет многочлен, степень которого меньше степени делителя.
[url]См. [url]http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg5.html[/url]
http://www.math.msu.su/dop/school/polynoms/theory1.htm[/url]

[Alejandros]

Какая-то ерунда получается:

$$ \arraycolsep=0.05em \begin{array}{rr@{\,}r|r} x^3&{}-1&&\,4x^3-x\\ \cline{3-4} x^3&{}-\frac{1}{4}x&&\,\frac{1}{4}\\ \cline{1-2} &{}\frac{1}{4}x-1\\ \end{array} $$

И еще: у меня в другом задании написано: исследовать сходимость несобственного интеграла: $\int\limits_0^2\frac{dx}{(4-x^2)^3}$ - интересно, почему это он несобственный? Или в задачах точно что-то напутано.

[Brukvalub]

При делении все получилось правильно.
Интеграл является несобственным из-за особенности в т.2 - в любой окрестности этой точки подынтегральная функция неограничена.

[Alejandros]

То есть $\frac{x^3-1}{4x^3-x} = \frac{1}{4} + \frac{x-4}{4(4x^3-x)}$?

[Brukvalub]

Alejandros писал(а):

То есть $\frac{x^3-1}{4x^3-x} = \frac{1}{4} + \frac{x-4}{4(x^3-1)}$

Нет. В знаменателе дроби справа - ошибка (описка?)

[Alejandros]

Теперь вроде бы правильно?

[Малкин Станислав]

Alejandros писал(а):

То есть $\frac{x^3-1}{4x^3-x} = \frac{1}{4} + \frac{x-4}{4(4x^3-x)}$?

Это верно. Теперь остается через метод неопределенных коэфициентов разложить вторую дробь и все получиться.