Задача по механике на ЗСЭ

[Shtud]

Условие задачи:
Жесткий невесомый стержень AB может вращаться без трения в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через точку O. В середине стержня и на его конце закреплены два шарика, массы которых $m_A = 4m$ и $m_B = m$. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определите натяжение стержня на участках OA и AB в момент прохождения положения равновесия.
$ \tikz{ \draw[thick] (-1.5,1.5) -- (1.5,1.5); \draw[thick, dashed] (-1.5,-1.5) -- (-1.5,1.5); \draw[dashed] (1.5,1.5) arc (0:-90:3); \draw[dashed] (0,1.5) arc (0:-90:1.5); \coordinate [label=above:$A$] (A) at (0,1.7); \coordinate [label=above:$B$] (B) at (1.5,1.7); \coordinate [label=left:$A$] (C) at (-1.7,0); \coordinate [label=left:$B$] (D) at (-1.7,-1.5); \coordinate [label=left:$O$] (O) at (-1.51,1.5); \filldraw[fill=blue!20!white, draw=blue, thick] (1.5, 1.5) circle (0.2); \filldraw[fill=blue!20!white, draw=blue, thick] (0, 1.5) circle (0.2); \filldraw[fill=blue!10!white, draw=blue, thick, dashed] (-1.5, -1.5) circle (0.2); \filldraw[fill=blue!10!white, draw=blue, thick, dashed] (-1.5, 0) circle (0.2); \draw[->] (0.75,1.4) arc (0:-40:0.95); \coordinate [label=left:$m_{B}g$] (MBG) at (-1.5,-2.); \draw[->, blue] (-1.5, -1.5) -- (MBG); \coordinate [label=left:$T_{AB}$] (TAB) at (-1.5,-0.9); \draw[->, red] (-1.5, -1.3) -- (TAB); \coordinate [label=left:$m_{A}g$] (MAG) at (-1.5,-0.5); \draw[->, blue] (-1.5, 0) -- (MAG); \coordinate [label=right:$T_{AB}$] (TABA) at (-1.5,-0.6); \draw[->, red] (-1.5, -0.2) -- (TABA); \coordinate [label=right:$T_{OA}$] (TOA) at (-1.5,0.7); \draw[->, red] (-1.5, 0.2) -- (TOA); } $
Собственная попытка решения:
Выберем начало отсчета потенциальной энергии от уровня, на котором находится шарик B в конечном положении. Длину стержня обозначим через $l$.Тогда начальные энергии шариков:
$E_i_A = m_Agl$
$E_i_B = m_Bgl$.
Энергии шариков в конечном положении:
$E_f_A = \frac{m_Av_A^2}{2} + m_Ag\frac{l}{2}$
$E_f_B = \frac{m_Bv_B^2}{2}$
В каждый момент времени на шарики действуют только сила тяжести и силы натяжения стержня. Сила тяжести, совершая положительную работу, переводит потенциальную энергию шариков в кинетическую. Сила натяжения стержня в каждый момент времени ортогональна направлению движения шариков и, следовательно, работы не совершает. Значит энергия сохраняется и можно записать:
$m_Agl = \frac{m_Av_A^2}{2} + m_Ag\frac{l}{2}$
$m_Bgl = \frac{m_Bv_B^2}{2}$
Отсюда выражаем скорости шариков:
$v_A = \sqrt{gl}$
$v_B = \sqrt{2gl}$
Запишем теперь второй закон Ньютона для каждого из шариков:
$\frac{m_Av_A^2}{l/2} = T_{OA} - T_{AB} - m_Ag$
$\frac{m_Bv_B^2}{l} = T_{AB} - m_Bg$
Подставляем $v_B$ во второе уравнение и находим $T_{AB}$:
$T_{AB} = 3m_Bg = 3mg$
Подставляем $v_A$ и $T_{AB}$ в первое уравнение и получаем:
$2m_Ag = T_{OA} - 3m_Bg - m_Ag$
$T_{OA} = 3m_Ag + 3m_Bg = 15mg$
Анализ собственной попытки решения:
Ясно, что шарики движутся с одинаковой угловой скоростью, следовательно, их линейные скорости должны удовлетворять соотношению:
$v_B = 2v_A$
В решении же получилось (из одного только закона сохранения энергии):
$v_B = \sqrt{2}v_A$
Значит, решение - полная чушь. Как минимум, закон сохранения энергии записан неправильно.
Вопрос:
Как записать закон сохранения энергии правильно? Правилен ли общий подход к решению?

[EUgeneUS]

Shtud в сообщении #1235597 писал(а):

В каждый момент времени на шарики действуют только сила тяжести и силы натяжения стержня.

Можно сказать так: "не только". А можно сказать так: сила натяжения стержня не обязательно направлена вдоль стержня. Потому что стержень не нитка.

[svv]

Представьте, что шарик $B$ расположен на большом расстоянии от оси (намного большем, чем $A$). Но он очень-очень лёгкий, настолько, что маятник качается так, как будто $B$ нет. Это значит, что в начальный момент $B$ будет иметь большое ускорение, направленное вниз. Может ли сила натяжения, направленная вначале горизонтально, обеспечить это?

[EUgeneUS]

Shtud в сообщении #1235597 писал(а):

Правилен ли общий подход к решению?

Вы можете исправить ошибку, заменив неверное "следствие" из ЗСЭ на "кинематическое соотношение" (связь между скоростями шариков), и получится верный ответ.
Но такой подход не может считаться "общим". Более общий подход - рассматривать стержень с шариками как твердое тело, и записывать ЗСЭ для этого тела целиком. Но нужно иметь понимание, что такое "момент инерции" и знать теорему Гюйгенса — Штейнера.

[svv]

Shtud
Вы можете записать работу силы тяжести при перемещении стержня из горизонтального положения в положение равновесия?

[Shtud]

Спасибо за помощь.
Решил, записав изменение суммарной кинетической энергии шариков как работу силы тяжести над системой шариков, связанных стержнем.
Понял, что стержень не обязан действовать на шарик вдоль своей длины. Но тогда в уравнениях движения для шариков получаются записаны не полные силы действия со стороны стержня, а только их проекции на вертикальную ось. Именно они (вертикальные составляющие сил, правда уже обратных - со стороны шариков) и называются натяжением? Я почему-то думал, что полная сила будет натяжением.

[svv]

Shtud в сообщении #1235614 писал(а):

Но тогда в уравнениях движения для шариков получаются записаны не полные силы действия со стороны стержня, а только их проекции на вертикальную ось.

Для вертикального положения стержня это не имеет значения. В этом положении скорости шариков максимальны, а это означает, что тангенциальное ускорение отсутствует. Отсюда можно вывести, что и горизонтальные проекции сил нулевые.

[Shtud]

svv в сообщении #1235615 писал(а):

Для вертикального положения стержня это не имеет значения. В этом положении скорости шариков максимальны, а это означает, что тангенциальное ускорение отсутствует. Отсюда можно вывести, что и горизонтальные проекции сил нулевые.

Как такое может быть? Если в момент $t$ тангенциальное ускорение равно нулю, то в момент $t+dt$ модуль скорости не изменится, и скорость в момент $t$ уже не будет максимальной.

[Walker_XXI]

Shtud в сообщении #1235621 писал(а):

Как такое может быть? Если в момент $t$ тангенциальное ускорение равно нулю, то в момент $t+dt$ модуль скорости не изменится, и скорость в момент $t$ уже не будет максимальной.

В точках экстремума производная равна нулю. Что Вас смущает?

[Shtud]

Walker_XXI в сообщении #1235624 писал(а):

Shtud в сообщении #1235621 писал(а):

Как такое может быть? Если в момент $t$ тангенциальное ускорение равно нулю, то в момент $t+dt$ модуль скорости не изменится, и скорость в момент $t$ уже не будет максимальной.

В точках экстремума производная равна нулю. Что Вас смущает?

Да ничего не смущает, просто бред написал. Сейчас удалю, если это возможно

[svv]

Не стоит, никто не пишет безупречно. Тут важна не идеальность, а то, что в результате все вместе придут к правильному варианту.