Существует ли пара простых?

[rightways]

Существует ли пара $(p,q)$ простых чисел где $q=20pk+9p-2$ , $p\equiv 2\pmod 5$ , $k\ge 0$ и для которого

$$q|\frac{p^5+32}{p+2}$$

?

[Руст]

Здесь условие $p=2\mod 5$ лишнее. Достаточно $q>5$
и $q|\frac{p^5+32}{p+2}=p^4-2p^3+4p^2-8p+16=(p^2-p+4)^2-5p^2=(p^2-2p+4)^2+2p(p-2)^2$.
Отсюда выводится, что $q=1\mod 10, p=7\mod 10$ а так же $(\frac{-2}{p})=(\frac{-2}{q}).$

[rightways]

так есть такая пара?

[Руст]

Этого еще не достаточно. Надо использовать еще биквадратность числа $-2$ когда $q-1$ делится на 4. Тогда получается, что нет таких $q$.

[rightways]

Давайте добьем эту задачу

[Andrey A]

Сильно не вникал, но в глаза бросается $(\frac{-2}{p})=(\frac{-2}{q}) \Rightarrow p=q \mod 10,$ что противоречит

Руст в сообщении #1235462 писал(а):

$q=1\mod 10, p=7\mod 10$

Или это символы Лежандра? Ну да, погорячился.

[Andrey A]

По $\mod 10$ противоречий не видно: $p=237, q=89821, $ но $k=18.5$ дробное. Если бы $p=7 \mod 20$, то и вышло бы.

[maxal]

Напомнило эту задачу: https://artofproblemsolving.com/community/c6h417736

[nnosipov]

maxal в сообщении #1437342 писал(а):

Напомнило эту задачу: https://artofproblemsolving.com/community/c6h417736

Мне кажется, здесь (у ТС) все запутаннее. Хотелось бы увидеть это явление на менее громоздком примере. Во всяком случае, раньше ничего подобного мне не попадалось.

rightways, не могли бы Вы переделать условие задачи так, что идея решения сохранилась, но выражения в задаче стали не такими дикими? Над тем, что есть, думать не хочется просто из эстетических соображений.

[maxal]

Если опустить требование простоты для $p$, то $p=7707$ и $q=9317761$ являются контр-примером. В общем случае, как мне кажется, утверждение неверно -- я не вижу, почему не может существовать подобного примера с простым $p$.

-- Wed Jan 29, 2020 11:01:27 --

Или вот наоборот: простое $p=1523$ с непростым $q=8542505$.

[nnosipov]

А, так может быть, что никакой новой идеи здесь и нет. То, что есть примеры таких делимостей (делимое --- многочлен $f(p)$ степени 4, делитель --- выражение вида $Apk+Bp+Ck+D$, где $p$ и $k$ --- произвольные целые числа), неудивительно. Простейший пример --- это дробь

$$\frac{p^4+1}{pk-1},$$

которая оказывается целым числом для бесконечно многих пар $(p,k)$. Если бы, например, многочлен $f(p)$ был всего лишь кубическим, то здесь вообще был бы алгоритм перечисления таких пар. Для многочленов 4-й степени, по-моему, никакой общей теории нет, но, действительно, непонятно, почему условие простоты делителя должно быть существенным препятствием.

Странная задача. Хотелось бы посмотреть на первоисточник.

-- Ср янв 29, 2020 23:13:17 --

Вот для такой случайной дроби

$$\frac{p^4+p^3+2}{pk+p+1}$$

есть случаи, когда оба числа $p$ и $q=pk+p+1$ простые, например $(p,q)=(7,1373)$ или $(p,q)=(127,509)$.