Вопрос о непротиворечивости

[Z1X]

somequest1, это для философов и прочих гуманитариев.

[Someone]

Z1X в сообщении #1235475 писал(а):

Да, и для одной теории могут быть разные метатеории, в которых оказываются истинными разные утверждения.

Истинность высказывания предметной теории зависит не от метатеории, а от модели. В одной метатеории можно настроить кучу моделей предметной теории, в части которых одно и то же высказывание предметной теории будет истинным, а в остальных моделях — ложным.

Имеется теорема такого сорта: высказывание формальной теории выводимо (= доказуемо) тогда и только тогда, когда оно истинно во всех моделях этой теории.

В формальной теории нет понятий истинности и ложности, поскольку они зависят от модели теории, а формальная теория о своих моделях ничего не знает. Все рассуждения, которые допускает формальная теория, от модели не зависят.

somequest1 в сообщении #1235473 писал(а):

мататеория -- это теория, которая занимается проблемами другой теории.

Что бы это значило? Какими именно "проблемами" занимается метатеория?

somequest1 в сообщении #1235467 писал(а):

Ваше доказательство -- это и есть проверка на истинность

Нет. Высказывание может оказаться истинным и в том случае, когда его нельзя доказать в данной формальной теории.

somequest1 в сообщении #1235453 писал(а):

непротиворечивость теоремы определяется тем, что в рамках данной системы невозможно вывести одновременно ее ложность и истинность

Вообще-то, непротиворечивость означает невозможность вывода противоречия, то есть, высказывания вида $\varphi\wedge\neg\varphi$. А понятия истинности и ложности, как я уже говорил, в формальной теории самой по себе не существуют, они появляются только при наличии модели.

Z1X в сообщении #1235449 писал(а):

Беретесь привести аксиоматику наивной теории множеств?

somequest1 в сообщении #1235450 писал(а):

Z1X
Эта информация легко доступна в интернете, не хочу засорять топик.

Боюсь, что не засорите. Поскольку вряд ли найдёте.

Есть довольно много формальных теорий множеств. Чаще всего используются ZFC или NBG. Вот у них есть полный список аксиом.

somequest1 в сообщении #1235483 писал(а):

http://www.runivers.ru/bookreader/book1%20...%207/mode/1up

Тяжёлый случай. Не удивительно, что у Вас каша в голове.

[Karan]

somequest1 в сообщении #1235483 писал(а):

http://www.runivers.ru/bookreader/book1 ... 7/mode/1up

Не пойдет. Во-первых, приходится отделять философскую часть от математической логики, которую мы обсуждаем. Во-вторых, определения истинности для теории первого порядка я там в очевидных местах не нашел.

Предлагаю Клини "Введение в метаматематику".

[Z1X]

Someone в сообщении #1235485 писал(а):

Истинность высказывания предметной теории зависит не от метатеории, а от модели. В одной метатеории можно настроить кучу моделей предметной теории, в части которых одно и то же высказывание предметной теории будет истинным, а в остальных моделях — ложным.

Я вот что имею в виду: если у вас есть интерпретационная функция и она отображает в одноэлементную модель, то она всегда отображает в эту модель. В противном случае надо постулировать, что в одной метатеории определены две разные интерпретационные функции, предназаначенные для разных целей. С истинностью та же история: всякий раз нужно поправляться, откуда взято утверждение и на какой модели истинно.

А вообще, спору нет: всё можно уместить в одну большую метатеорию.

[somequest1]

Someone в сообщении #1235485 писал(а):

Нет. Высказывание может оказаться истинным и в том случае, когда его нельзя доказать в данной формальной теории.

А что значит "оказаться истинным". Если Вы не можете обосновать истинность, то как же Вы определите эту истинность, на основании чего?

[Xaositect]

somequest1 в сообщении #1235488 писал(а):

А что значит "оказаться истинным". Если Вы не можете обосновать истинность, то как же Вы определите эту истинность, на основании чего?

А Вы приведите все-таки определение истинности.

[somequest1]

Someone в сообщении #1235485 писал(а):

Вообще-то, непротиворечивость означает невозможность вывода противоречия

Именно это я и сказал, только другими словами

[Z1X]

Ну, а на основании чего вы определили истинность $\exists x \ A(x) \rightarrow \forall x \ A(x)$ ? У нас есть задокументированный акт согласия выше Обратите внимание, что уже на двухэлементной модели начинаются проблемы... Более того, в предикатной логике формулу $\exists x \ \varphi \rightarrow \forall x \ \varphi$ доказать нельзя.

[somequest1]

Xaositect в сообщении #1235489 писал(а):

А Вы приведите все-таки определение истинности.

Я не понимаю, в чем проблема определения истинности? Почему это вызывает такие трудности. Любое высказывание в рамках данной системы либо истинно либо ложно(не считая противоречивого). Это основы.Сформулируйте любое высказывание и попробуйте его доказать. Если оно доказано(не вступает в противоречие с аксиоматикой) -- значит оно истинно. Если вступило в противоречие -- значит ложно.

-- 23.07.2017, 19:55 --

Xaositect
Простой пример на пальцах. Есть дедуктивный вывод. Если все слоны красные, то пятый слон зеленый -- это по вашему какое высказывание? Оно ложно, потому что противоречит либо декларации(все слоны красные), либо правилам дедуктивного вывода. Декларацию мы берем за аксиому, следовательно данное утверждение не может быть выведено в нашей системе, оно ложно

[Xaositect]

somequest1 в сообщении #1235492 писал(а):

Я не понимаю, в чем проблема определения истинности? Почему это вызывает такие трудности. Любое высказывание в рамках данной системы либо истинно либо ложно(не считая противоречивого). Это основы.Сформулируйте любое высказывание и попробуйте его доказать. Если оно доказано(не вступает в противоречие с аксиоматикой) -- значит оно истинно. Если вступило в противоречие -- значит ложно.

Нет, истинность в матлогике определяется не так. Это Вам надо почитать учебники, а не посылать других их читать.

[somequest1]

Xaositect
Матлогика не может противоречить логике, так как на ней базируется

[Z1X]

somequest1, матлогика и логика — это одно и то же. Что там у гуманитариев — то не наука вообще.

[Xaositect]

В матлогике важно различие между понятиями доказуемости и истинности. Смотрите, например, Верещагин, Шень, "Языки и исчисления", параграфы 3.2 и 4.1-4.5.

[somequest1]

Xaositect
это в любой логике разные понятия

[george66]

Техническое замечание: наивную теорию множеств формализовать легко и Фреге её формализовал
$\exists x\forall z(z\in x\Leftrightarrow\varphi)$ (существует множество таких $z$, для которых верно $\varphi$)
$\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y$
Первой схемы аксиом достаточно для вывода противоречия (берём в качестве $\varphi$ формулу $z\not\in z$ и получаем
$\exists x\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\not\in z)$
$\exists x(x\in x\Leftrightarrow x\not\in x)$