$O$-символика (из темы "Гипотеза Римана")

[Aether]

Modest: Отделено от темы Гипотеза Римана. В дальнейшем обсуждении прошу руководствоваться правилами ПРР(М).

Вопрос ко всем, извиняюсь, что повторно: Что конкретно означает знак равенства в данном выражении: $(\forall \varepsilon > 0) M(n)=O(n^{\frac{1}{2}+\varepsilon})$? В каком отношении находится левая и правая часть выражения? Как это можно описать словами или дать эквивалентную запись в других символах не используя $O$?

[arseniiv]

В Зориче есть. Где-то в окрестностях раздела о пределах.

-- Пт июл 21, 2017 02:38:13 --

В принципе, можно глянуть на эту страницу в русской Википедии, но я в ней не уверен.

[Aether]

arseniiv в сообщении #1235027 писал(а):

В принципе, можно глянуть на эту
страницу в русской Википедии, но я в ней не уверен.

Вопрос как раз и возник после знакомства с этой страницей. Там пишется, что по смыслу правильнее было бы использовать вместо равенства значки принадлежности и включения. Также, есть пример, показывающий, что левая часть не больше чем правая, умноженная на константу.

Ну и есть предупреждение осторожно относиться к такому обозначению.
Я вот уже почти год пытаюсь понять, что же оно в данном случае всё-таки значит, но толком так ничего и не выяснил.

[arseniiv]

Так там же есть расшифровка того, что конкретно значит $f = O(g)$. В такой записи никаких неоднозначностей нет — вот при манипуляции они, в принципе, могут появиться.

[Aether]

Цитата:

$f $ является «O» большим от $g$ при $x\to x_0$, если существует такая константа $C>0$, что для всех $x$ из некоторой окрестности точки $x_{0}$ имеет место неравенство: $|f(x)| \leqslant C |g(x)|$

Т.е. можно записать эквивалентную формулировку ГР в виде: $M(n)\leqslant C\cdot n^{\frac{1}{2}}$?

[Xaositect]

Нет. Например, $n^{\frac12} \log n = O(n^{\frac12 + \varepsilon})$ при любом $\varepsilon > 0$, но $n^{\frac12} \log n = O(n^{\frac12})$ неверно.

[Aether]

Xaositect в сообщении #1235061 писал(а):

Нет. Например, $n^{\frac12} \log n = O(n^{\frac12 + \varepsilon})$ при любом $\varepsilon > 0$, но $n^{\frac12} \log n = O(n^{\frac12})$ неверно.

Спасибо. Может быть тогда верно будет какое-то из этих 3-х утверждений (Верно в смысле эквивалентно записи эквивалентной формулировки ГР):
1,2) $M(n)\leqslant(=) n^{\frac12} \log n$
3) $M(n)\leqslant C\cdot n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$?

[Sender]

Если чуть раскрыть, то
$\forall \varepsilon>0\exists n_0\in \mathbb{N},\exists C\in\mathbb{R}:\forall n>n_0\; |M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}.$

[Aether]

Sender в сообщении #1235068 писал(а):

Если чуть раскрыть, то
$\forall \varepsilon>0\exists n_0\in \mathbb{N},\exists C\in\mathbb{R}:\forall n>n_0\; |M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}.$

Простите, непонятно зачем вообще тогда $\varepsilon$, если этого равенства можно достичь подбором константы, т.к. очевидно она всегда существует и вместо функции Мертенса можно взять любую другую и также достичь равенства или $\leq$, впрочем и вместе с $\varepsilon$ можно всегда его достичь, но оно излишне?

Другое дело если бы было необходимо, чтобы константа $C$ должна была быть одинаковой для всех n при фиксированном $\varepsilon$. Т.е.
$\forall \varepsilon>0, \forall n\in \mathbb N, \exists n_0\in \mathbb{N},\exists C\in\mathbb{R}:\forall n>n_0\; |M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}.$

[Sender]

Aether в сообщении #1235072 писал(а):

Другое дело если бы было необходимо, чтобы константа $C$ должна была быть одинаковой для всех n.

Она и есть одинаковая для всех $n$... Она может зависеть только от $\varepsilon$.
Вообще, конечно, с таким уровнем понимания, на мой взгляд, перед штурмом гипотезы Римана не помешало бы ознакомиться с каким-нибудь учебником по мат. анализу.

[Aether]

Sender в сообщении #1235075 писал(а):

Она и есть одинаковая для всех $n$

Простите, но из Вашей записи я этого не вижу.
Но Всё же спасибо Вам, благодаря Вам я пришел к такому пониманию:

$\forall \varepsilon>0, \forall n\in \mathbb N, \exists n_0\in \mathbb{N},\exists C\in\mathbb{R}:\forall n>n_0\; |M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}.$

Но верно ли оно?

[Xaositect]

Aether, вот у Вас как раз написано, что для каждого $n$ свое $C$ (кванторы $\forall n \exists C$). Чтобы была одинаковая $C$ для всех $n$, надо как у Sender, $\exists C \forall n$.

[Sender]

Aether, можете привести формулировку, как вы её понимаете, заменив кванторы словесными выражениями?

[Aether]

Xaositect,Sender

Спасибо, дошло. (Ура!!!)

Sender
Извините, Вы были правы, а я был лев тряпочный.

-- 21.07.2017, 12:31 --

Sender в сообщении #1235080 писал(а):

Aether, можете привести формулировку, как вы её понимаете, заменив кванторы словесными выражениями?

Вообще, я стесняюсь в словесных выражениях, а то как бы чего плохого не вышло:

Для любого фиксированного положительного $\varepsilon$ всегда существует такая константа $C$, что как ни меняй $n$, модуль $M(n)$ не превзойдет $C\cdot n^{\frac12+\varepsilon}$, т.е. эта константа также существует и для любого $n$ при фиксированном $\varepsilon$, что меня и сбило с толку.

[Sender]

Ну почти правильно, только у вас $n_0$ где-то по дороге потерялось. В принципе, можно обойтись и без него, если взять $C$ достаточно большим, но исходная формулировка этого не подразумевает.