Фоновая метрика под горизонтом

[schekn]

Для введения тензора энергии импульса гравитационного поля теоретики предлагают
разбить метрику на фоновую и саму гравитацию.

$$g_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}+\gamma_{\mu\nu}$$

Так сделано , например в параграфе 6 стр. 182 у Вайнберга.
Обычно такое разбиение вводится вдалеке от масс в слабых полях.
Однако у сторонников полевого подхода ОТО -Зельдовича, Грищука , Петрова. А.Н. -
ничего не написано по поводу того, как делать такое разбиение и выделить фоновую метрику на горизонте или под горизонтом.
Неясно, можно ли там определить плоское пространство-время в качестве фоновой метрики.
Кто разбирался с этим вопросом?

[Munin]

А в чём проблема?

[schekn]

Так непонятно. Если взять вакуумное сферически симметричное решение в гармонических координатах,
то разложение сделать несложно.
$g$ - известная метрика в гармонических координатах. Плоская в галилеевых:

$$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$$

Но метрика в гармонических возможна только до горизонта.
А дальше? Приведите пример такого разложения под горизонтом.

[Munin]

Возьмите координаты, непрерывно продолжающиеся под горизонт. Знаете примеры таких?

[schekn]

Munin в сообщении #1234687 писал(а):

Возьмите координаты, непрерывно продолжающиеся под горизонт. Знаете примеры таких?

Взял. Предположим метрику Леметра.
А какую фоновую метрику вы предложите?

[Munin]

Минковский чем не устраивает?

[Erleker]

Метрических особенностей область под горизонтом не имеет (кроме истинной сингулярности), поэтому раскладывать так спокойно можно, выбрав несингулярные на горизонте координаты.

Но тут есть другая проблема:
Надо же не просто разложить метрический тензор таким образом, а надо, чтобы $h_{ik}=0$ на бесконечном удалении (как написано у Вайнберга) от черной дыры.
Леметр в этом действительно не подойдет (при $r \to \infty$ у него вообще $g_{RR}$ зануляется).

Но, естественно, подходящую СК (из частиц, с условием галилеевости на бесконечности) выбрать то можно (гармонические координаты в этом не единственные).

[Munin]

Erleker в сообщении #1234727 писал(а):

Леметр в этом действительно не подойдет

Тогда мой любимый Эддингтон-Финкельштейн.

А вообще хорошо бы Крускала-Секереша так записать. Про асимптотику спасибо, что напомнили. (Впрочем, обязательно ли придерживаться этого требования?..)

[schekn]

Erleker в сообщении #1234727 писал(а):

Метрических особенностей область под горизонтом не имеет (кроме истинной сингулярности), поэтому раскладывать так спокойно можно, выбрав несингулярные на горизонте координаты.
:

Тем не менее Метрика Леметра вошла во все учебники. Проблема есть, я к ней медленно подползаю.
На горизонте нет метрических особенностей, но есть "энергетическая". И есть еще одна проблема.
Я думал как нагляднее показать. Можно конечно взять метрику Пенлеве . Она с нужной асимптотикой.

-- 20.07.2017, 11:13 --

Давайте остановлюсь на Пенливе.

$$ds^2=(1-\frac{r_g}{\bar{r}})c^2d{\bar{t}}^2+2\sqrt{\frac{r_g}{\bar{r}}}c d{\bar{t}}d{\bar{r}}-d{\bar{r}}^2-\bar{r}^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2)\quad (1)$$

Напрашивается метрика Минковского в таком виде:

$$ds^2=c^2d{\bar{t}}^2-d{\bar{r}}^2-\bar{r}^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2)\quad (2)$$

Есть ли возражения?

Теперь беру метрику для сферически-симметричного случая в вакууме вне горизонта в гармонических координатах и сразу перевожу в сферические для сравнения:

$$ds^2=\frac{r-\frac{r_g}{2}}{r+\frac{r_g}{2}}c^2dt^2- \frac{r+\frac{r_g}{2}}{r-\frac{r_g}{2}}dr^2-(r+\frac{r_g}{2})^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2)\quad (3)$$

и плоскую:

$$ds^2=c^2dt^2-dr^2-r^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2) \quad (4)$$

Вас ничего не смущает?

[Munin]

schekn в сообщении #1234790 писал(а):

Тем не менее Метрика Леметра вошла во все учебники.

К счастью, не во все, а только в один.

Она была первой, решившей некую задачу, но - не самой удачной. Эддингтон-Финкельштейн гораздо удачнее, и именно он вошёл в почти все учебники (кроме одного).

[Erleker]

Munin в сообщении #1234768 писал(а):

Тогда мой любимый Эддингтон-Финкельштейн.

Нет, у него же вообще $V$ - световая координата!Он не может сводиться к минковскому никак.
(кстати, исторически она же и была первой, а не Леметр).

Munin в сообщении #1234768 писал(а):

А вообще хорошо бы Крускала-Секереша так записать.

Ну, у нее же тоже, как у Леметра, на бесконечности зануление.
Кроме того, мы же не обязательно рассматриваем такой вариант полного ПВ.

Munin в сообщении #1234768 писал(а):

Про асимптотику спасибо, что напомнили. (Впрочем, обязательно ли придерживаться этого требования?..)

Да, у Вайнберга это используется.Ну какое это иначе "поле" то тогда?

schekn
Это не пойдет, вы же сами видите координатную сингулярность.
*И надо, кстати, еще от сферических к прямоугольной потом вообще.

[schekn]

Erleker в сообщении #1234853 писал(а):

Это не пойдет, вы же сами видите координатную сингулярность.

Где? На горизонте зануляется только нулевая компонента , но метрика не вырождается.
Ваши предложения?
Леметр , кстати, фигурирует в статье Оппенгеймера-Снайдера, когда они решают задачу коллапса пыли в синхронных координатах.

[Erleker]

schekn в сообщении #1234865 писал(а):

Где? На горизонте зануляется только нулевая компонента , но метрика не вырождается.

Сингулярность, про которую я говорил, во второй СК.
В первой - да, так как вы описываете.
Но я еще задумался над другим:
Надо ли еще, чтобы еще всюду: $dx^a=0 , a=1,2,3$ - времениподобно, $dx^0=0$ - пространственноподобно?
Надо вникнуть внимательнее, как там используется.

Если это требование не обязательно - то да, такая СК подойдет.

P.S. Леметр, вроде, есть много где.

[Geen]

Erleker в сообщении #1234853 писал(а):

Нет, у него же вообще $V$ - световая координата!

Зачем? Можно и обычной временной пользоваться - добавка к минковскому будет $\frac{2M}{r}(dt\pm dr)^2$

[schekn]

Erleker, Munin

Теперь отмечу простую вещь. У нас все три тензора $g$, $h$, $\gamma$
должны быть записаны в одной координатной системе и соответственно переход в другую координатную систему
должен происходить одновременно во всех трех тензорах.
Я пока опущу проблему неоднозначности такого разбиения, хотя она есть.

Меня волнует следующее.
У нас разбиение (1),(2) и (3),(4) это своеобразная биметрика и непонятно, как эти две биметрики, записанные для разных областях
пространства-времени должны быть между собой согласованы в области $r>r_g$.
Я уже кидал год назад в личку свои соображения некоторым участникам.

В чем тут проблема? Когда вы хотите устранить особенность, которую считают координатной, то
используют преобразования координат от искривленной метрики (3) $g$ в гармонических к метрике (1) $\bar{g}$ Пенливе.
Я сейчас не готов их выписать (надо поискать) , но можете поверить :
Вы устраняете особенность в кривой метрики , но при этом она появится в плоской метрике (4) $\bar{\gamma}$
(и соответственно в метрике $\bar{h}$)
и непонятно, как она согласуется с плоской метрикой (2) у которой как видно нет особенности??

(я сейчас посмотрел черновик, у меня год назад был пример именно с "любимой" метрикой Эддингтона-Финкельштейна).

То есть особенность устранилась в кривой метрике, но она появилась в фоновой. Она же войдет и в тензор энергии-импульса гравитационного поля.
Эта первая проблема разбиения на горизонте.