Открытые и замкнутые множества на прямой (Давидович)

[irod]

Продолжаю прорешивать задачи из книжки Давидовича и ко http://www.mccme.ru/free-books/57/davidovich.pdf.
В этой теме - листок 13.
Прошу уважаемых форумчан проверить мои доказательства, как и в моих предыдущих темах. Помимо всего прочего, буду благодарен за замечания по стилистике доказательств.

Определение 1.
Точка $x\in M$ (все множества, встречающиеся в данном листке, предполагаются подмножествами $\mathbb{R}$) называется внутренней точкой множества $M$, если существует окрестность точки $x$, целиком лежащая в $M$.

Определение 2.
Множество называется открытым, если все его точки внутренние.

Задача 1.
Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

Доказательство.
Возьмем произвольную точку $x$ из пересечения конечного числа открытых множеств. Каждое множество из пересечения содержит некоторую окрестность точки $x$. Значит, их пересечение должно содержать наименьшую из окрестностей. Следовательно, пересечение также является открытым множеством.

-- 12.07.2017, 12:03 --

Задача 2.
Объединение любого числа открытых множеств открыто.

Доказательство.
Возьмем произвольную точку $x$ из объединения открытых множеств. $x$ вместе с некоторой своей окрестностью принадлежит какому-то множеству из объединения. Значит эта же окрестность точки $x$ принадлежит объединению. Следовательно, объединение также является открытым множеством.

-- 12.07.2017, 12:03 --

Задача 3.
Всегда ли пересечение счетного числа открытых множеств открыто?

Ответ.
Нет, не всегда. Например, существуют системы вложенных интервалов, чье пересечение состоит из одной точки (см. задачу 17 листка 8).

-- 12.07.2017, 12:04 --

Задача 4*.
Всякое открытое множество есть либо прямая, либо объединение не более чем счетного числа попарно непересекающихся интервалов и открытых лучей.

Вот эту задачу пока пропускаю, требует обдумывания.

-- 12.07.2017, 12:05 --

Определение 3.
Точка $x$ называется предельной точкой множества $M$, если любая окрестность точки $x$ содержит хотя бы одну точку множества $M$, отличную от $x$. Множество предельных точек множества $M$ обозначается $M'$.

Задача 5.
Всегда ли предельная точка последовательности $(x_i)$ является предельной точкой множества $\{x_i\mid i\in\mathbb{N}\}$?

Ответ.
Нет, не всегда. Например, если предельная точка $a$ последовательности $(x_i)$ является таковой из-за равенства ей бесконечного числа членов $(x_i)$ (пример: последовательность $1,1,\ldots$ с предельной точкой $1$); в таком случае могут существовать окрестности $a$, не содержащие ни одной точки множества $\{x_i\mid i\in\mathbb{N}\}\setminus\{a\}$.

-- 12.07.2017, 12:06 --

Определение 4.
Точка $x$ называется предельной точкой множества $M$, если существует сходящаяся к $x$ последовательность точек
множества $M\setminus\{x\}$.

Задача 6. Определения 3 и 4 равносильны.

Доказательство.
Пусть $x$ -- предельная точка множества $M$ по определению 3.
Алгоритм формирования из точек $M\setminus\{x\}$ последовательности, сходящейся к точке $x$, следующий. Возьмем произвольную окрестность точки $x$ и возьмем из нее точку $x_1\in M$, отличную от $x$. Далее, на каждом ($i$-м) шаге сужаем взятую на предыдущем шаге окрестность и берем из новой окрестности точку $x_i\in M$, отличную от $x$. В итоге получим последовательность $x_1,x_2,\ldots$ из точек $M\setminus\{x\}$, сходящуюся к точке $x$, т.е. выполнено определение 4.
Пусть теперь $x$ -- предельная точка множества $M$ по определению 4, и пусть $(x_i)$ -- последовательность из точек $M\setminus\{x\}$, сходящаяся к точке $x$.
Сходимость $(x_i)$ к $x$ означает, что в любой окрестности точки $x$ содержатся почти все члены $(x_i)$, т.е. бесконечно много точек $M\setminus\{x\}$. Очевидно, из этого следует что любая окрестность точки $x$ содержит хотя бы одну точку множества $M\setminus\{x\}$, т.е. выполнено определение 3.

-- 12.07.2017, 12:07 --

Определение 5.
Точка $x\in M$ называется изолированной точкой множества $M$, если существует окрестность точки $x$, не содержащая других точек множества $M$.

Задача 7. Всякая точка множества $M$ является или предельной, или изолированной точкой $M$.

Доказательство.
Пусть $x$ -- произвольная точка произвольного множества $M$.
Возьмем произвольную окрестность точки $x$. Если она не содержит ни одной точки множества $M\setminus\{x\}$, то $x$ является изолированной точкой. Если содержит хотя бы одну точку, то сужаем окрестность например в 2 раза, и смотрим на содержание точек в новой окрестности. Повторяем процесс. Если наткнулись на окрестность без точек, значит $x$ изолирована, если каждая окрестность содержит точки, то предельная (по определению 3).

-- 12.07.2017, 12:08 --

Задача 8.
Если ограниченное множество $M$ бесконечно, то $M'$ непусто.

Доказательство.
Если $M$ несчетно, то из него можно выделить счетное подмножество (задача 13 листка 4); если счетно, то берем само $M$.
Элементы счетного подмножества множества $M$ можно представить в виде последовательности, причем без повторяющихся членов. Эта последовательность ограничена. Из ограниченной последовательности можно выделить как минимум одну сходящуюся последовательность (задача 16.а листка 11), причем ее предел $x$ будет являться также пределом последовательности из тех же членов за вычетом самого $x$ (это следует из уникальности членов), а значит и предельной точкой множества $M$ (по определению 4).

[ewert]

irod в сообщении #1232969 писал(а):

Далее, на каждом ($i$-м) шаге сужаем взятую на предыдущем шаге окрестность

Как именно сужаем?

irod в сообщении #1232969 писал(а):

Задача 7. Всякая точка множества $M$ является или предельной, или изолированной точкой $M$.

Доказательство.
Пусть $x$ -- произвольная точка произвольного множества $M$.

... и т.д.

Не вчитывался. Не исключено, что и верно. Но гораздо проще переписать определение изолированной точки формально, с помощью кванторов и затем его формальное же отрицание. В точности определение 3 и выйдет.

irod в сообщении #1232969 писал(а):

Если ограниченное множество $M$ бесконечно, то $M'$ непусто.

Трудно сказать. Штрих -- это какая-то отсебятина.

irod в сообщении #1232969 писал(а):

Задача 4*.
Всякое открытое множество есть либо прямая, либо объединение не более чем счетного числа попарно непересекающихся интервалов и открытых лучей.

Вот эту задачу пока пропускаю, требует обдумывания.

К этому моменту уже должна была быть счётность $\mathbb Q$, и тогда никакой звёздочки. Если же этой счётности ещё не было, то задача недобросовестна.

В остальном, кажется, всё нормально.

[grizzly]

Grizzly возвращается

irod в сообщении #1232969 писал(а):

Задача 6. Определения 3 и 4 равносильны.
Доказательство.

В первой части есть пробел в рассуждении. Просьба найти его самостоятельно (я не хочу давать подсказку, поскольку что-то похожее уже попадалось).

irod в сообщении #1232969 писал(а):

Задача 7. Всякая точка множества $M$ является или предельной, или изолированной точкой $M$.
Доказательство.

Доказательство содержит пробел. Условия определения 3 не проверены, вопреки заявленному в доказательстве.

[deep down]

По стилистике. В решении задачи 1

irod в сообщении #1232969 писал(а):

Каждое множество из пересечения содержит некоторую окрестность точки $x$. Значит, их пересечение должно содержать наименьшую из окрестностей

можно интерпретировать по разному. Для начала уточните определение "наименьшая из окрестностей". В текущей версии неясно, где именно исползуется конечность.

Задача 3. Дополнительные вопросы для лучшего понимания. Будет ли открытость если
Пересение состоит более, чем из одной точки?
Ни один из интервалов не является подмножеством другого?

[ewert]

deep down в сообщении #1233045 писал(а):

В текущей версии неясно, где именно исползуется конечность.

В принципе, слово "наименьшая" подразумевает конечность (см. далее решение задачи 3) -- и корректность этого слова в конечном случае очевидна. Так что тут как раз придраться не к чему.

А, хотя есть к чему, но это уже именно махровая стилистика. Не "должно содержать", а "содержит". В остальном же всё нормально.

-- Ср июл 12, 2017 18:14:53 --

Да, поправлюсь:

ewert в сообщении #1232975 писал(а):

тогда никакой звёздочки.

Не обратил внимания на слово "непересекающихся". В этом случае звёздочка всё же есть, пусть и маленькая. Тогда просто надо для каждого числа выбирать максимальный интервал, с соотв. притопами и прихлопами (в них и звёздочка).

[deep down]

ewert в сообщении #1233054 писал(а):

В принципе, слово "наименьшая" подразумевает конечность (см. далее решение задачи 3) -- и корректность этого слова в конечном случае очевидна. Так что тут как раз придраться не к чему.

Вопрос не в том, что Вы не задумываясь понимаете все шаги. А в том, чтобы ТС мог их строго написать. Так что я всё же перестрахуюсь и подожду ответы по задаче 1.

[ewert]

deep down в сообщении #1233060 писал(а):

А в том, чтобы ТС мог их строго написать.

Вот как раз именно в этом месте ТС ровно строго всё и написал. За исключением лишнего слова "должно".

[irod]

grizzly в сообщении #1232976 писал(а):

Grizzly возвращается

Я очень рад! так же как и год назад, когда Вы исчезли и потом неожиданно вернулись

Спасибо всем за замечания и вопросы, беру небольшую паузу чтобы вернуться с ответами и исправлениями.

[irod]

Некоторые исправления.

ewert в сообщении #1232975 писал(а):

irod в сообщении #1232969 писал(а):

Далее, на каждом ($i$-м) шаге сужаем взятую на предыдущем шаге окрестность

Как именно сужаем?

так, чтобы новая окрестность не содержала взятую на предыдущем шаге точку $x_{i-1}$.

ewert в сообщении #1232975 писал(а):

Но гораздо проще переписать определение изолированной точки формально, с помощью кванторов и затем его формальное же отрицание. В точности определение 3 и выйдет.

Действительно:

$$ \neg \left(\exists U_\varepsilon(x)\ \forall y\in M\setminus\{x\}\ y\not\in U_\varepsilon(x)\right) \Leftrightarrow \forall U_\varepsilon(x)\ \exists y\in M\setminus\{x\}\ y\in U_\varepsilon(x). $$

ewert в сообщении #1232975 писал(а):

irod в сообщении #1232969 писал(а):

Если ограниченное множество $M$ бесконечно, то $M'$ непусто.

Трудно сказать. Штрих -- это какая-то отсебятина.

Штрих - это множество предельных точек множества (определение 3). Я понял, что это снова не общепринятое обозначение.

deep down в сообщении #1233045 писал(а):

Для начала уточните определение "наименьшая из окрестностей".

Наименьшая - такая окрестность, которая целиком содержится во всех остальных рассматриваемых окрестностях.

-- 17.07.2017, 18:18 --

deep down в сообщении #1233045 писал(а):

Задача 3. Дополнительные вопросы для лучшего понимания. Будет ли открытость если
Пересение состоит более, чем из одной точки?

Полагаю, в таком случае пересечение само является интервалом, а интервал - это всегда открытое множество, так что ответ положительный.

-- 17.07.2017, 18:32 --

deep down в сообщении #1233045 писал(а):

Ни один из интервалов не является подмножеством другого?

Тогда это уже не система вложенных интервалов. Если пересечение пусто, то множество его внутренних точек также пусто. Пустое множество является подмножеством любого множества, в т.ч. пустого, так что такое пересечение открыто. Еще возможен вариант непустого пересечения, в этом случае вопрос: может ли оно не быть интервалом? Мне кажется может (например, если у всех интервалов середина общая, левые концы стремятся друг к другу, и правые концы стремятся друг к другу, то пересечение будет отрезком; доказательство этого может быть похожим на доказательство задачи 17 листка 8. Но тут я не уверен, это просто предварительные мысли). В случае пересечения-отрезка, оно конечно не будет открытым.

[grizzly]

irod в сообщении #1234186 писал(а):

так, чтобы новая окрестность не содержала взятую на предыдущем шаге точку $x_{i-1}$.

Ловко Вас ewert подловил. Это неправильно и это как раз та ошибка, про которую я тоже говорил в своём замечании.

irod в сообщении #1234186 писал(а):

Наименьшая - такая окрестность, которая целиком содержится во всех остальных рассматриваемых окрестностях.

Вы сейчас сказали что-то совсем не то -- это уточнение уже никак нельзя интерпретировать правильно. Значит, deep down не зря обратил на это внимание. Если бы Вы в первоначальном решении сказали "наименьшая из этих окрестностей", то и вопросов бы не возникло. Посмотрите, может это прояснит.

[ewert]

grizzly в сообщении #1234202 писал(а):

irod в сообщении #1234186 писал(а):

так, чтобы новая окрестность не содержала взятую на предыдущем шаге точку $x_{i-1}$.

Ловко Вас ewert подловил. Это неправильно и это как раз та ошибка, про которую я тоже говорил в своём замечании.

Это вообще-то правильно. Т.е. я вообще-то в первую очередь имел в виду именно то, на что ТС только что ответил. Но в очередь вторую -- этого недостаточно, конечно.

[deep down]

Не сочтите за придирки. Интуитивное понимание у Вас есть, осталось научиться переводить его в чёткие формулировки.

irod в сообщении #1234186 писал(а):

Наименьшая - такая окрестность, которая целиком содержится во всех остальных рассматриваемых окрестностях.

Обычно под "наименьшая из" подразумевают "одна из, которая является наименьшей".
Контрольный вопрос (для тренировки умения строго формулировать) - почему такая окрестность существует?

irod в сообщении #1234186 писал(а):

deep down в сообщении #1233045 писал(а):

Пересечение состоит более, чем из одной точки?

Полагаю, в таком случае пересечение само является интервалом

Доказательство?

irod в сообщении #1234186 писал(а):

deep down в сообщении #1233045 писал(а):

Ни один из интервалов не является подмножеством другого?

Тогда это уже не система вложенных интервалов. Если пересечение пусто, то множество его внутренних точек также пусто. Пустое множество является подмножеством любого множества, в т.ч. пустого, так что такое пересечение открыто. Еще возможен вариант непустого пересечения, в этом случае вопрос: может ли оно не быть интервалом? Мне кажется может (например, если у всех интервалов середина общая, левые концы стремятся друг к другу, и правые концы стремятся друг к другу, то пересечение будет отрезком; доказательство этого может быть похожим на доказательство задачи 17 листка 8. Но тут я не уверен, это просто предварительные мысли). В случае пересечения-отрезка, оно конечно не будет открытым.

Правильные мысли есть. Но если у интервалов общая середина, один из них обязательно содержится в другом (или они совпадают).
Формулировка "левые концы стремятся друг к другу" никуда не годится. Говорите о сходимости - чётко объясните, какую последовательность рассматриваете и её предел.
Кстати, в Вашем ответе есть кое-что полезное для предыдущего вопроса.

[ewert]

deep down в сообщении #1234241 писал(а):

Обычно под "наименьшая из" подразумевают "одна из, которая является наименьшей".
Контрольный вопрос (для тренировки умения строго формулировать) - почему такая окрестность существует?

Контрольный ответ: потому, что их мало. И ТС в ответах на дальнейшие задачки это явно подразумевал (хоть и неявно формулировал).

Не сочтите за придирку; но я не люблю придирок чересчур уж формально придиристых.

[grizzly]

ewert в сообщении #1234244 писал(а):

Не сочтите за придирку; но я не люблю придирок чересчур уж формально придиристых.

А давайте спросим ТС. А то ведь в прошлый раз я тоже счёл это придиркой, а теперь -- наоборот.

irod
Ответьте, пожалуйста, если вспомните, вот в этом месте:

irod в сообщении #1232969 писал(а):

Каждое множество из пересечения содержит некоторую окрестность точки $x$. Значит, их пересечение должно содержать наименьшую из [конечного числа упомянутых в предыдущем предложении] окрестностей.

Вы подразумевали в точности сказанное в квадратных скобках или в Вашем утверждении это могла быть ещё меньшая окрестность?

[ewert]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1234248 писал(а):

Вы подразумевали в точности сказанное в квадратных скобках или в Вашем утверждении это могла быть ещё меньшая окрестность?

Явно не могла бы. Помимо всего прочего, ещё и потому, что ТС -- явный алгоритмист. Мне понравилось, хотя к голой математике оно отношения и не имеет.