День добрый, сейчас вот перечитывал лекции и осознал, что совсем запутался. Вот рассмотрим свободное действие Дирака:

,
где

, а

- гамма-матрицы Дирака, удовлетворяющие алгебре Клиффорда

Теперь мы хотим сформулировать нашу теорию в евклидовом пространстве, для чего делаем виковский поворот:

,

Кроме того,

, так что гамма-матрицы теперь удовлетворяют алгебре Клиффорда в евклидовой метрике:

(вот меня уже здесь немного напрягает написанное, потому что из этого следует, что было принято

, но при этом антикоммутатор для гамма-матриц со знаком минус был бы). Из этого следует, что

И утверждается, что действие Дирака при этом принимает вид:

(тут я уж индекс E опустил, разумеется; кроме того, как понимаю, тут уже

подразумевается)
Вот я не очень вижу, как это так получается. От

и

достанется знак минус,

вообще плевать, остаётся производная. Итак,

То есть вот если бы мы получили ещё одну

с производной, то всё бы замечательно было. Как по мне, решением было бы что-то вроде: во-первых, метрика у нас

, а во-вторых, матрицы Дирака тогда

. Вроде как это решило бы все проблемы (хотя я не уверен до конца):

,

,

, откуда

с

По этому вопросу почему-то хрен что найдёшь в литературе/Интернете. А то, что я нашёл, имеет тенденцию разниться в соглашениях, что ещё больше путает. В общем, может, подскажет кто, как правильно в евклидовом пространстве свободный дираковский лагранжиан (ну или дираковское действие) выглядит.