Действие Дирака в евклидовом пространстве

[Gickle]

День добрый, сейчас вот перечитывал лекции и осознал, что совсем запутался. Вот рассмотрим свободное действие Дирака:

$S = \int d^4 x \, \bar{\psi}(i \rlap{\(/\)}\partial- m)\psi$,

где $\rlap{\(/\)}\partial = \gamma^{\mu} \partial_{\mu}$, а $\gamma^{\mu}$ - гамма-матрицы Дирака, удовлетворяющие алгебре Клиффорда $\lbrace\gamma^{\mu}, \gamma^{\nu}\rbrace = 2 \eta^{\mu}^{\nu}$

Теперь мы хотим сформулировать нашу теорию в евклидовом пространстве, для чего делаем виковский поворот:

$x^{M}_0 \rightarrow -i x^{E}_0$, $\partial^{M}_0 \rightarrow i \partial^{E}_0$

Кроме того, $\gamma^{M}_0 \rightarrow -i \gamma^{E}_0$, так что гамма-матрицы теперь удовлетворяют алгебре Клиффорда в евклидовой метрике: $\lbrace\gamma^{\mu}, \gamma^{\nu}\rbrace = 2 \delta^{\mu}^{\nu}$ (вот меня уже здесь немного напрягает написанное, потому что из этого следует, что было принято $(-,+,+,+)$, но при этом антикоммутатор для гамма-матриц со знаком минус был бы). Из этого следует, что $\bar{\psi} \rightarrow -i \bar{\psi}$

И утверждается, что действие Дирака при этом принимает вид:

$S = -\int d^4 x \, \bar{\psi}(\rlap{\(/\)}\partial + m)\psi$

(тут я уж индекс E опустил, разумеется; кроме того, как понимаю, тут уже $-S$ подразумевается)

Вот я не очень вижу, как это так получается. От $d^4 x$ и $\bar{\psi}$ достанется знак минус, $m$ вообще плевать, остаётся производная. Итак,

$\rlap{\(/\)}\partial = \gamma^{\mu} \partial_{\mu} = - \gamma^{0} \partial^{0} + \gamma^{i} \partial^{i} \rightarrow (\gamma^{0} \partial^{0} + \gamma^{i} \partial^{i})_E = \rlap{\(/\)}\partial_E$

То есть вот если бы мы получили ещё одну $i$ с производной, то всё бы замечательно было. Как по мне, решением было бы что-то вроде: во-первых, метрика у нас $(+,-,-,-)$, а во-вторых, матрицы Дирака тогда $\gamma^{i}_M \rightarrow -i \gamma^{i}_E$. Вроде как это решило бы все проблемы (хотя я не уверен до конца):

$\bar{\psi} \rightarrow \bar{\psi}$, $d^4 x \rightarrow -i d^4 x$, $\rlap{\(/\)}\partial \rightarrow i \rlap{\(/\)}\partial$, откуда

$S_M \rightarrow i S_E$

с $S_E = \int d^4 x_E \bar{\psi} (\rlap{\(/\)}\partial_E + m) \psi$

По этому вопросу почему-то хрен что найдёшь в литературе/Интернете. А то, что я нашёл, имеет тенденцию разниться в соглашениях, что ещё больше путает. В общем, может, подскажет кто, как правильно в евклидовом пространстве свободный дираковский лагранжиан (ну или дираковское действие) выглядит.

[warlock66613]

Gickle в сообщении #1233780 писал(а):

От $d^4 x$ и $\bar{\psi}$ достанется знак минус

Разве $d^4x$ - это не $dx^0dx^1dx^2dx^3\text{?}$ Откуда тогда минус?

-- 17.07.2017, 21:30 --

А, у вас же метрика наоборот:

Gickle в сообщении #1233780 писал(а):

во-первых, метрика у нас $(+,-,-,-)$

Но тогда в результате поворота мы не получим нормального положительно определённого скалярного прозведения, что неудобно. Так что метрику здесь нужно брать как раз $(-, +, +, +)$.

[Gickle]

warlock66613
При виковском повороте $dx^0_M \rightarrow -i dx^0_E$ (ну или $x^4_E$, кому как больше нравится). И ещё $i$ от того, что $\gamma^0_M \rightarrow -i \gamma^0_E$, откуда $\bar{\psi} \rightarrow -i\bar{\psi}$. Повторюсь, что я лично считаю, что делать всё нужно "по-другому".

warlock66613 в сообщении #1234214 писал(а):

А, у вас же метрика наоборот:

Gickle в сообщении #1233780 писал(а):

во-первых, метрика у нас $(+,-,-,-)$

Но тогда никаким виковским поворотом у вас не получится нормального положительно определённого скалярного прозведения, что неудобно. Так что метрику здесь удобно брать как раз $(-, +, +, +)$.

Хм, да, я об этом как-то не думал. А разве тогда соотношение для гамма-матриц не должно поменять знак, например? Ну, то есть для $(-,+,+,+)$ должно же быть

$\lbrace \gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\rbrace = -2 \eta^{\mu}^{\nu}$,

Тогда если следовать указанному выше $\gamma^0_M \rightarrow -i \gamma^0_E$, то мы в итоге получим после поворота $\lbrace \gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\rbrace = -2 \delta^{\mu}^{\nu}$.

[warlock66613]

Gickle в сообщении #1234217 писал(а):

При виковском повороте $dx^0_M \rightarrow -i dx^0_E$

Так $dx^0_M \rightarrow -i dx^0_E$ или всё-таки $dx_0^M \rightarrow -i dx_0^E\text{?}$ Это же разные вещи (см. замечание про сигнатуру выше).

[Gickle]

warlock66613
Да, я как-то привык просто к $(+,-,-,-)$, где $x_0 = x^0$. Если честно, я уже совсем в край запутался.

P.S. Вот, кстати, я нашёл книгу (увы, только в books.google), где есть по этой теме. Если не ошибаюсь, ссылка должна сразу нужную страницу открыть, но на всякий случай укажу, что речь идёт о 356 странице. Там, если я правильно понимаю, используется сигнатура $(+,-,-,-)$, а виковский поворот осуществляется преобразованием $x^0_M \rightarrow i x^0_E$ и $\gamma^i_M \rightarrow - i \gamma^i_E$. То есть где-то так, как мне и кажется правильным. Единственное, что, как вы уже выше заметили, при таком раскладе мы случаем не "повернём" в метрику с сигнатурой $(-,-,-,-)$?

[warlock66613]

Gickle в сообщении #1234217 писал(а):

А разве тогда соотношение для гамма-матриц не должно поменять знак, например?

Что-то я не вижу для этого никаких причин.

[Gickle]

warlock66613 в сообщении #1234224 писал(а):

Gickle в сообщении #1234217 писал(а):

А разве тогда соотношение для гамма-матриц не должно поменять знак, например?

Что-то я не вижу для этого никаких причин.

Википедия, конечно, не самый надёжный источник, но вот это я взял оттуда.

[lek]

Gickle в сообщении #1233780 писал(а):

В общем, может, подскажет кто, как правильно в евклидовом пространстве свободный дираковский лагранжиан (ну или дираковское действие) выглядит ... я лично считаю, что делать всё нужно "по-другому".

Если исходить из требования $SO(4)$-инвариантности соответствующих уравнений движения, то как-то так

$$ L=\psi^{\dag}(\gamma^{\mu}\partial_{\mu}+m)\psi. $$