Общая касательная к кривым(поверхностям) второго порядка

[dima_1985]

Дано две кривые второго порядка $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$ и $\frac{x^2}{80}+\frac{4y^2}{5}=1$ нужно найти общие касательные. Решение найдем касательную для $1$ эллипса $\frac{xx_0}{20}-\frac{yy_0}{5}=1$, для $2$ эллипса $\frac{xx_1}{80}+\frac{4yy_1}{5}=1$. Тогда $\frac{4x_0}{x_1}=\frac{y_0}{4y_1}$- условие параллельности направляющих векторов. Составим систему $\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{4x_0}{x_1}&=&\frac{y_0}{4y_1} \\ \frac{x_0^2}{20}+\frac{y_0^2}{5} &=& 1\\ \frac{x_1^2}{80}+\frac{4y_1^2}{5} &=& 1 \\ \frac{20(x-x_0)}{x_0} &=& \frac{5(y-y_0)}{y_0} \end{array} \right.$.Что-то слишком много уравнений думаю, что можно проще ?

[gris]

Общая касательная, конечно, параллельна (вернее, коллинеарна) самой себе. Но есть куча параллельных касательных, вовсе даже не совпадающих.

[ewert]

Грех не воспользоваться спецификой задачи: второй эллипс откровенно получается из первого растяжением в два раза по иксам и сжатием в два раза по игрекам. Сделайте масштабное преобразование (удобнее по иксам), после которого оба эллипса окажутся одинаковыми растяжениями одной и той же окружности, но по разным осям. Тогда уравнением общей касательной будет, очевидно, $\pm y=\pm x+b$, причём для нахождения $b$ достаточно условия касания лишь с одним из эллипсов, а это уже вполне элементарно (настолько элементарно, что даже дифференцировать ничего не надо).

[dima_1985]

Странно, кто-то посоветовал через нормали?(смотрел через телефон автора не видел). Потом сообщение удалилось. Ну напишу универсальный способ

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{x_0}{10}(x_1-x_0)+\frac{2y_0}{5}(y_1-y_0) &=&0 \\ \frac{x_1}{40}(x_1-x_0)+\frac{8y_1}{5}(y_1-y_0) &=& 0\\ \frac{x_0^2}{20}+\frac{y_0^2}{5} &=& 1 \\ \frac{x_1^2}{80}+\frac{4y_1^2}{5} &=& 1 \\ \end{array} \right.$$

.Все oK.Но решать тяжко. Попробую предложение ewert

[lel0lel]

Для любителей решать квадратные уравнения: ищем уравнение общей касательной в виде $y=kx+b$; подставляем это в уравнения кривых и решаем их относительно $x$ (можно просто найти соответствующие дискриминанты); приравниваем получившиеся дискриминанты к нулю, так как касательную ищем; решаем простую систему и находим $k, b$.

[ewert]

lel0lel в сообщении #1233087 писал(а):

Для любителей решать квадратные уравнения:

Биквадратные. При необходимости -- можно, но без оной -- немного занудно.

[svv]

dima_1985 в сообщении #1233085 писал(а):

Странно, кто-то посоветовал через нормали?

Это был я. Но я вовремя одумался.

[lel0lel]

ewert в сообщении #1233091 писал(а):

Биквадратные.

Не совсем так. В общем виде $x^2/a_1^2+y^2/b_1^2=1$, $x^2/a_2^2+y^2/b_2^2=1$. Касательная $y=kx+c$. Система для $k$ и $c$ имеет вид $a_1^2k^2+b_1^2=c^2$, $a_2^2k^2+b_2^2=c^2$.
P.S. Скорее всего этим формулам можно найти красивое геометрическое пояснение.

[dima_1985]

lel0lel
Если я Вас правильно понял, то должны получиться вот такие уравнения

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 64k^2b^2-4(1+4k^2)(4b^2-20) &=&0 \\ 16384k^2b^2-4(1+64k^2)(64b^2-80) &=&0 \\ \end{array} \right.$$

?

svv в сообщении #1233101 писал(а):

Это был я. Но я вовремя одумался.

А что не так ? Вроде подход рабочий

[svv]

Я понял, что это слишком сложно.

[lel0lel]

dima_1985 в сообщении #1233130 писал(а):

то должны получиться вот такие уравнения

Первое уравнение я проверил, оно верное, значит поняли правильно. Но только сокращайте их, так они очень страшные.

[redicka]

Решая систему-находим восемь точек касания для четырех касательных (система сводится к квадратным уравнениям)
$\frac{x^2}{20}$+$\frac{y^2}{5}$-1=0
$\frac{x1^2}{80}$+$\frac{4y1^2}{5}$-1=0
$\frac{x}{4y}$=$\frac{x1}{64y1}$
$\frac{y1-y}{x1-x}$=$\frac{-x}{4y}$

[DeBill]

dima_1985 в сообщении #1233063 писал(а):

Тогда $\frac{4x_0}{x_1}=\frac{y_0}{4y_1}$-

, и, из совпадения касательных, дробь эта равна 1. Выражая "1" через "0", из уравнений эллипсов получим линейные уравнения на $x_0^2, y_0^2$....

[dima_1985]

Как поступать если захочется добавить ещё одну координату? Наши уравнения примут вид $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}+\frac{z^2}{2}=1$ и $\frac{x^2}{80}+\frac{4y^2}{5}+\frac{z^2}{3}=1$ и надо найти касающуюся плоскость? Векторы нормали параллельны в точки касания $\frac{N_x_0}{N_x_1}=\frac{N_y_0}{N_y_1}=\frac{N_z_0}{N_z_1}$. Получим систему

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{N_x_0}{N_x_1}=\frac{N_y_0}{N_y_1}=\frac{N_z_0}{N_z_1}\\ \frac{x_0^2}{20}+\frac{y_0^2}{5}+\frac{z_0^2}{2}=1\\ \frac{x_1^2}{80}+\frac{4y_1^2}{5}+\frac{z_1^2}{3}=1 \end{array} \right.$$

. А как ещё два уравнения получить?

[DeBill]

dima_1985
Вы опять допускаете ту же неточность: пишите условие ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ плоскостей вместо условия их СОВПАДЕНИЯ. На самомо деле, СОВПАДЕНИЕ даст еще одно уравнение. И все... Ибо таких плоскостей - до фига (целое одномерное семейство). Но вот если б эллипсоидов было 3, то...