Гамильтониан "заряженной" частицы из действия

[Cryo]

Здравствуйте

(Оффтоп)

Довольно часто приходится смотреть на поведение разных (классических) частиц в электромагнитном поле. Иногда эти частицы имеют заряд, иногда нейтральны, но имеют дипольный момент, или квадрупольный и т.д. Анализ их уравнений движения удобно начинать с "общего" Гамильтониана взаимодействия $H_{int}=\int d^3 r \left( \rho \varphi - \vec{A}.\vec{J} \right)$, где $\varphi , \vec{A}$ это скалярный и векторный потенциал внешнего поля, а $\rho, \vec{J}$ это плотность заряда и тока частицы. К примеру для неподвижной частицы с электрическим диполем $\vec{p}$, в точке $\vec{r}_0$: $\rho\left(\vec{r}\right)=-\nabla.\left(\vec{p}\delta(\vec{r}-\vec{r}_0)\right)$.

В виде учебного упражнения хотелось бы вывести часть Гамильтониана ответственную за взаимодействия плотности заряда ($\rho$) и тока ($\vec{J}$) какой-то (классической) частицы с (классическим) внешним полем. Частица может быть заряженной, а может быть и нейтральной, но, скажем, с электрическим диполем (поэтому у меня кавычки на "заряженной"). По-критикуйте пожалуйста мой вывод (и дайте ссылку если он где-нибудь дан в такой форме).

Начинаем с действия выраженного как интеграл по пространству-времени (его верность можно доказать выведением уравнений Максвелла из самого действия):

$S=\int{d^4 x \frac{1}{c}\left( -\frac{1}{4\mu_0}\left(\partial^{\alpha}A^{\beta}-\partial^{\beta}A^{\alpha}\right)\left(\partial_{\alpha}A_{\beta}-\partial_{\beta}A_{\alpha}\right)-A^{\nu}J_{\nu}\right)}$

Всё записано для плоского пространства-времени с метрикой $g_{\alpha\beta}=\operatorname{diag}\left(1,-1,-1,-1\right)$, $g^{\alpha\beta}=\operatorname{diag}\left(1,-1,-1,-1\right), g^{\alpha\beta}g_{\beta\nu}=\delta^{\alpha}_{\nu}$. Частные производные обозначаются как $\partial_\alpha=\frac{\partial}{\partial x^\alpha}$, $\partial^\alpha=g^{\alpha\nu}\partial_\nu$. $A^{\nu}=\left(\varphi/c,\,\vec{A}\right)^\nu$, это 4-потенциал ($\partial_\nu A^{\nu}=0$). $J^{\nu}=\left(c\rho,\,\vec{J}\right)^\nu$ это 4-ток. Повсюду повтор индекса подразумевает сумму. Константы: $c$-скорость света, $\mu_0$-магнитная проницаемость вакуума.

Для начала упростим первый член, который состоит из продуктов $\partial_{\alpha}A_\beta$ и т.д. Интегрируя по частям можно перебросить производные с одного 4-потенциала на другой, а потом использовать $\partial^\alpha\partial_\alpha A^\beta=\mu_0 J^\beta$ и $\partial_\nu A^{\nu}=0$:

$ \int \frac{d^4 x}{c} \partial_\alpha A_\beta \partial^\alpha A^\beta=\int \frac{d^4 x}{c} \partial_\alpha\left( A_\beta \partial^\alpha A^\beta\right)-\mu_0\int \frac{d^4 x}{c}A_\beta J^\beta=\oint \frac{d^3 x}{c} \dots-\mu_0\int \frac{d^4 x}{c}A_\beta J^\beta

\int \frac{d^4 x}{c} \partial_\alpha A_\beta \partial^\beta A^\alpha=\int \frac{d^4 x}{c} \partial_\alpha\left( A_\beta \partial^\beta A^\alpha\right)-0=\oint \frac{d^3 x}{c} \dots $

Тогда действие становится:

$S=\oint \frac{d^3 x}{c} \dots - \frac{1}{2}\int{d^4 x \frac{1}{c}\left( A^{\nu}J_{\nu}\right)}$


Я не стал выписывать поверхностные интегралы в явной форме так как они не внесут вклад в уравнения движения (ведь вариации обычно полагают нулевыми на границах интеграла). В дальнейшем я просто выкидываю $\oint \frac{d^3 x}{c} \dots $ из действия. Теперь я упрощу второй член. Мне неудобно иметь общий ток и общее поле. Я распишу их так:

$S= - \frac{1}{2}\int{ \frac{d^4 x}{c}\left( A^{(s)\nu} + A^{(e)\nu}\right)\left(J^{(s)}_{\nu}+J^{(e)}_{\nu}\right)}=-\frac{1}{2}\int{ \frac{d^4 x}{c}\left( A^{(s)\nu}J^{(s)}_{\nu}+A^{(e)\nu}J^{(e)}_{\nu} + A^{(s)\nu}J^{(e)}_{\nu} + A^{(e)\nu}J^{(s)}_{\nu} \right)}$

Здесь $\dots^{(e)}$ это поля и токи связанные с внешним полем, а $\dots^{(s)}$ это поля и токи связанные с частицей динамика которой нам интересна. Поведение внешнего поля контролируется "экспериментатором" и поэтому нам неинтересно, его прячем в $S^{field}$. Поведение частицы без поля нам тоже как-бы неинтересно, оно будет получено позже из других соображений, его прячем в $S^{self}$. Остаётся два члена взаимодействия, один из них можно поменять интеграцией по частям:


$\int{ \frac{d^4 x}{c} A^{(s)\nu}J^{(e)}_{\nu} }=\mu_0\int{ \frac{d^4 x}{c} A^{(s)\nu} \left(\partial_\eta \partial^{\eta } A^{(e)}_{\nu} \right) }=\oint \frac{d^3 x}{c} \dots+\mu_0\int{ \frac{d^4 x}{c} \left(\partial_\eta \partial^{\eta } A^{(s)}^{\nu} \right) A^{(e)}_{\nu}}$

$\int{ \frac{d^4 x}{c} A^{(s)\nu}J^{(e)}_{\nu} }=\oint \frac{d^3 x}{c} \dots+\mu_0\int{ \frac{d^4 x}{c} J^{(s)}^{\nu} A^{(e)}_{\nu}}$

Опять отбрасываем поверхностный интеграл:

$S=S^{self}+S^{field}-\int{ \frac{d^4 x}{c} A^{(e)\nu}J^{(s)}_\nu}$

Для Гамильтониана концентрируемся на последнем члене. Находим плотность Гамильтониана ($\mathcal{H}_{int}$) из плотности Лагранжиана ( $\mathcal{L}_{int}$):

$\mathcal{L}_{int}=-A^{(e)\nu}J^{(s)}_\nu$
$\Pi_\nu=\left(\frac{\partial \mathcal{L}_{int}}{\partial \dot{J}^{(s)\nu}}\right)_{t,x,y,z,J^{\nu},\partial_x J^{\nu}, \partial_y J^{\nu}, \partial_z J^{\nu}}$
$\dot{J}^{(s)\nu}=\left(\frac{\partial J^{(s)\nu}}{\partial t}\right)_{x,y,z}$
$\mathcal{H}_{int}=\Pi_\nu \dot{J}^{(s)\nu}-\mathcal{L}_{int}=A^{(e)\nu}J^{(s)}_\nu$


И, наконец, сам Гамильтониан:

$H_{int}=\int d^3 r \mathcal{H}_{int}=\int d^3 r A^{(e)\nu}J^{(s)}_\nu=\int d^3 r \left(\phi^{(e)}\rho^{(s)}-\vec{A}^{(e)}.\vec{J}^{(s)}\right)$

Буду благодарен за любые полезные комментарии. Спасибо