Про механическую энергию тела

[tohaf]

Мех энергия тела это сумма кинетической и потенциальной.
Читаю у Лансберга
Если потенциальную энергию тела у поверхности земли считать равной нулю (§ 97), то сумма кинетической и потенциальной энергий тела на любой высоте во время подъема или падения будет равна $\frac{mv^2}{2}$ т. е. остается равной начальной кинетической энергии тела. Этот вывод представляет собой частный случай одного из важнейших законов природы — закона сохранения энергии.
Не совсем понятно. Как же так, если полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий, а потенциальная энергия зависит от выбора нулевой точки, то и полная механическая энергия должна зависеть от выбора нулевой точки, разве нет?
Т.е., например, если тело массой $m$ находится в поле земли на изначальной высоте $h$ и это тело начинает падать, то мы говорим, что кинетическая энергия возрастает, а потенциальная убывает, разве нет?
И относительно нулевой точки - потенциальная будет зависеть от высоты $y$ над этой точкой, а кинетическая - от скорости на этой высоте $y$.

$W_p = mgy$
$W_k = $\cfrac{m (a \sqrt{\frac{2(h-y)}{a}} )^2 }{2}$
$y $- высота

[realeugene]

tohaf в сообщении #1232415 писал(а):

если полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий, а потенциальная энергия зависит от выбора нулевой точки, то и полная механическая энергия должна зависеть от выбора нулевой точки

Да.

[tohaf]

Тогда что написано в книге? Что это означает?

[Aritaborian]

Вот именно это и означает.

[Metford]

Потенциальная энергия всегда определяется с точностью до константы, т.е. главное - как изменяется потенциальная энергия от точки к точке, а не её абсолютное значение в этих точках. Эта самая константа фиксируется один раз - и после этого никакого произвола больше не остаётся. Например, потенциальная энергия материальной точки в поле тяжести имеет вид

$$U=-\frac{GmM}{r}+\operatorname{const}.$$

Это просто из закона Всемирного тяготения пишется. Так вот, разумно считать, что бесконечно далеко от тела массой $M$ его гравитационное воздействие на частицу $m$ отсутствует - соответственно константу в последнем выражении полагают равной нулю. Это не следует ни из каких строгих соображений. И выбор этот по существу ни на что не влияет, потому что как только Вы будете вычислять силу взаимодействия, константа моментально исчезнет при дифференцировании.

Теперь к Вашему примеру. Да, если положить, что на некотором уровне потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия на этом уровне оказывается равной $mv_0^2/2$, то полная энергия в течение всего движения останется ровно такой же, $mv_0^2/2$ (ну, в предположении, что других сил никаких нет). Если очень захочется определить потенциальную энергию на начальном уровне равной $U_0$, то всего-навсего эта самая константа $U_0$ прибавится к прежней полной энергии - и ничего больше не изменится. Как сохранялась энергия - так и будет сохраняться.

Upd. Внесена поправка по замечанию fred1996, см. ниже.

[Cos(x-pi/2)]

tohaf в сообщении #1232421 писал(а):

Что это означает?

Это означает, что при подъёме тела (имеется ввиду полёт подброшенного тела, а не подъём его на лебёдке) слагаемое $E_{\text{п}}=mgh$ будет увеличиваться, а слагаемое $E_{\text{к}}=mv^2/2$ будет уменьшаться. Когда $E_{\text{п}}$ достигнет значения $mv_0^2/2,$ кинетическая энергия $E_{\text{к}}$ обратится в ноль, т. е. в этот момент обратится в ноль скорость тела: $v=0.$

Затем тело будет падать вниз, его кинетическая энергия будет увеличиваться, а потенциальная - уменьшаться. Когда тело достигнет поверхности земли, его потенциальная энергия обратится в ноль (так выбрано начало её отсчёта), а кинетическая станет равна $mv_0^2/2,$ то есть в этот момент времени абсолютная величина скорости тела станет равна начальному значению: $v=v_0.$

Если же тело с начальной скоростью $v_0$ станет падать в колодец (в этом случае его "высоту под поверхностью земли" $h$ следует считать отрицательной величиной), то его потенциальная энергия под уровнем поверхности земли станет отрицательной, а кинетическая энергия $mv^2/2,$ станет больше, чем $mv_0^2/2,$ то есть величина скорости $v$ станет больше, чем начальное значение $v_0,$ и она будет увеличиваться дальше (пока тело не грохнется на дно колодца).

[fred1996]

Metford
Исправтье, пожалуйста, на минус.

[realeugene]

tohaf в сообщении #1232421 писал(а):

Тогда что написано в книге? Что это означает?

Это означает, что понятие механической энергиии (как потенциальной, так и кинетической) зависит от системы отсчёта. Не существует "энергии вообще". Вы, сначала, должны выбрать подходящую систему отсчёта, в том числе, нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии. И дальше, относильно этой системы отсчёта, вы можете записывать закон сохранения энергии. Если вы выберете систему отсчёта правильно, то закон сохранения механической энергии в вашей системе будет выполняться. Если ошибётесь, могут вылезти парадоксы. Чтобы наверняка не ошибиться, выбирайте всегда какие угодно инерциальные системы отсчёта, если только в них можно решить вашу задачу.

[Metford]

fred1996
Спасибо, поправил. Совсем плохой стал...

[fred1996]

Metford
Кстати, это достаточно преподавательская описка.
Дело в том, что ТС еще не разобрался с простейшим случаем потенциальной энергии, а вы, чтобы его подбодрить, решили дать параллельный пример. Но пошли на поводу плюсового потенциала просто по аналогии.
Но дело в том, что теперь после вашего исправления ТС еще более запутается.
Отрицательная потенциальная энергия пока за гранью его понимания.
По крайней мере мне приходится посвящать этому моменту достаточно много времени с учениками.
А пока ТС находится на уровне "гравитация у поверхности земли", и даже наверное не читал про потенциальную энергию пружины.
Так что с моей точки зрения тут пока надо "работать" только с простейшим случаем.
Вряд ли ТС учил гравитацию.

[Metford]

fred1996 в сообщении #1232505 писал(а):

Но дело в том, что теперь после вашего исправления ТС еще более запутается.
Отрицательная потенциальная энергия пока за гранью его понимания.

Пусть скажет об этом сам - будет с чем разбираться. Проблемы нужно решать по мере их поступления.