2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения в простых близнецах
Сообщение05.07.2017, 16:10 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
На математических олимпиадах довольно часто встречаются уравнения в целых числах, значительно реже - уравнения в простых числах, а вот уравнения в простых близнецах лично мне пока не попадались.
Ну что ж, всё когда-то бывает впервые. Давайте придумаем побольше удивительных уравнений, переменными в которых служат простые числа-близнецы, и опубликуем их в данной теме.
Итак, первое в истории человечества уравнение в простых близнецах:

Решить уравнение $$p^q+pq-p-q=2q^p$$
, где $p$ и $q$ - простые близнецы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в простых близнецах
Сообщение05.07.2017, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Т.к. $(x + 2)^x < e^2 x^x$, то в зависимости от того, какое число меньше, получаем неравенство с небольшим конечным числом решений (кажется меньшее из чисел не больше $5$ получается), а тут уже проверить всего четыре пары остается. И среди них решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в простых близнецах
Сообщение05.07.2017, 16:45 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
mihaild
Можно проще. Намного :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в простых близнецах
Сообщение05.07.2017, 16:58 


26/08/11
2057
Ну запишем:

$p(p^{q-1}+q-1)=q(2q^{p-1}+1)$

Левая часть делится на $p$, правая нет, если $p\ne 3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в простых близнецах
Сообщение05.07.2017, 17:04 


18/04/15
38
Левая часть делится на $ p-1 $, тогда $ (p-1)|2q $, откуда единственный возможный вариант $ p=3, q=5 $.
Который еще и подходит :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в простых близнецах
Сообщение05.07.2017, 17:41 


20/04/10
1776
По модулю $p$ имеем следующее $-q=2q$, то есть $3q\equiv0 (\bmod{p})$. Так как $(p,q)=1$, то легко получаем $p=3$. Нечетный близнец $5$. Делаем проверку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в простых близнецах
Сообщение06.07.2017, 09:59 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Shadow
lopkityu
lel0lel
Всё верно.
Можно и по модулю 6 решить. Левая честь даёт остаток 4, а правая даёт остаток 2. Исключение составляет лишь пара (3, 5).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в простых близнецах
Сообщение06.07.2017, 11:05 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Ktina
А использование одной пары близнецов принципиально? Если нет, то тут на форуме были несколько тем с магическими квадратами и вообще последовательностями, в том числе и на множестве близнецов. Правда там не одно уравнение, а система уравнений, да плюс дополнительно требование отсутствия посторонних простых чисел между парами близнецов. Ну и на бумажке (без компьютера) они решаются редко ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в простых близнецах
Сообщение07.07.2017, 14:20 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Dmitriy40 в сообщении #1231820 писал(а):
Ktina
А использование одной пары близнецов принципиально?

Не принципиально, однако подобные детали следует оговорить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в простых близнецах
Сообщение07.07.2017, 23:57 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Ещё одно уравнение в простых близнецах: $$n!+p+q=2^k$$,
$p, q$ - простые близнецы, $n, k$ - ЦНЧ (Целые Неотрицательные Числа)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в простых близнецах
Сообщение08.07.2017, 00:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Считаем $q = p + 2$. При $n \geqslant 3, p \geqslant 5$ левая часть делится на $3$, а правая нет.
$p = 3, q = 5: n! + 8 = 2^k$. При $n \geqslant 6$ левая часть дает остаток $8$ по модулю $16$. Рассматриваем остальные варианты - остается $4! + 3 + 5 = 2^5$.
$p + p + 2$ делится на $4$, $n!$ при $n < 3$ нет, так что решений с $n < 3$ нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в простых близнецах
Сообщение08.07.2017, 00:25 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
mihaild
А $5!+3+5=2^7$ как же забыли? Ну и что что $n=q$, выше у Вас тоже $k=q$. ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения в простых близнецах
Сообщение08.07.2017, 01:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Dmitriy40, ну я же считать хорошо умею, у меня $5! = 720$ :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group