Уравнения в простых близнецах

[Ktina]

На математических олимпиадах довольно часто встречаются уравнения в целых числах, значительно реже - уравнения в простых числах, а вот уравнения в простых близнецах лично мне пока не попадались.
Ну что ж, всё когда-то бывает впервые. Давайте придумаем побольше удивительных уравнений, переменными в которых служат простые числа-близнецы, и опубликуем их в данной теме.
Итак, первое в истории человечества уравнение в простых близнецах:

Решить уравнение

$$p^q+pq-p-q=2q^p$$

, где $p$ и $q$ - простые близнецы.

[mihaild]

Т.к. $(x + 2)^x < e^2 x^x$, то в зависимости от того, какое число меньше, получаем неравенство с небольшим конечным числом решений (кажется меньшее из чисел не больше $5$ получается), а тут уже проверить всего четыре пары остается. И среди них решений нет.

[Ktina]

mihaild
Можно проще. Намного

[Shadow]

Ну запишем:

$p(p^{q-1}+q-1)=q(2q^{p-1}+1)$

Левая часть делится на $p$, правая нет, если $p\ne 3$

[lopkityu]

Левая часть делится на $ p-1 $, тогда $ (p-1)|2q $, откуда единственный возможный вариант $ p=3, q=5 $.
Который еще и подходит

[lel0lel]

По модулю $p$ имеем следующее $-q=2q$, то есть $3q\equiv0 (\bmod{p})$. Так как $(p,q)=1$, то легко получаем $p=3$. Нечетный близнец $5$. Делаем проверку.

[Ktina]

Shadow
lopkityu
lel0lel
Всё верно.
Можно и по модулю 6 решить. Левая честь даёт остаток 4, а правая даёт остаток 2. Исключение составляет лишь пара (3, 5).

[Dmitriy40]

Ktina
А использование одной пары близнецов принципиально? Если нет, то тут на форуме были несколько тем с магическими квадратами и вообще последовательностями, в том числе и на множестве близнецов. Правда там не одно уравнение, а система уравнений, да плюс дополнительно требование отсутствия посторонних простых чисел между парами близнецов. Ну и на бумажке (без компьютера) они решаются редко ...

[Ktina]

Dmitriy40 в сообщении #1231820 писал(а):

Ktina
А использование одной пары близнецов принципиально?

Не принципиально, однако подобные детали следует оговорить.

[Ktina]

Ещё одно уравнение в простых близнецах:

$$n!+p+q=2^k$$

,
$p, q$ - простые близнецы, $n, k$ - ЦНЧ (Целые Неотрицательные Числа)

[mihaild]

Считаем $q = p + 2$. При $n \geqslant 3, p \geqslant 5$ левая часть делится на $3$, а правая нет.
$p = 3, q = 5: n! + 8 = 2^k$. При $n \geqslant 6$ левая часть дает остаток $8$ по модулю $16$. Рассматриваем остальные варианты - остается $4! + 3 + 5 = 2^5$.
$p + p + 2$ делится на $4$, $n!$ при $n < 3$ нет, так что решений с $n < 3$ нет.

[Dmitriy40]

mihaild
А $5!+3+5=2^7$ как же забыли? Ну и что что $n=q$, выше у Вас тоже $k=q$.

[mihaild]

Dmitriy40, ну я же считать хорошо умею, у меня $5! = 720$