Нахождение суммы числового ряда

[axeler44]

День добрый!
имеется ряд:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(4n^2-1)^2}$

подскажите пожалуйста как найти сумму.


пробовал решить методом неопределенных коэффициентов, получил коэфф A B C D, нашел их значения

$$\ A= \frac{3}{16}$, $$\ B= \frac{1}{16}$, $$\ C= \frac{-1}{16}$, $$\ D= \frac{1}{16}$.

в процессе дальнейшего решения возникли сомнения в правильности выбранного метода.

подскажите как можно решить этот ряд иным способом?

[demolishka]

Коэффициенты неправильные. Когда посчитаете правильно коэффициенты, то остается сгруппировать ряды нужным образом.

[svv]

(Оффтоп)

axeler44 в теме 119420 писал(а):

числового ляда

Когда б узнать, ради какого ляда
Ищу я сумму числового ряда.

[axeler44]

Благодарю, demolishka!

demolishka в сообщении #1231928 писал(а):

Коэффициенты неправильные. Когда посчитаете правильно коэффициенты, то остается сгруппировать ряды нужным образом.

пересчитал, раскладывал на два слагаемых, получил коэффициенты:

$ B = \frac{1}{4}$ и $ D = \frac{1}{4}$

а вместе с тем два ряда

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4(4n^2-1)} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4(4n^2-1)^2} $

подставлял значения, ни на один из известных мне рядов не похожи.

единственное, если разложить квадрат, то ряд отчасти похожа на ряд Лейбница (но ряд Лейбница является знакочередующимся)

-- 07.07.2017, 01:25 --

[Someone]

axeler44 в сообщении #1231948 писал(а):

единственное, если разложить квадрат, то ряд отчасти похожа на ряд Лейбница

А Вы таки разложите на четыре дроби. И выпишите после этого 4-5 членов, разложенных на эти дроби. Увидите, что там кое-что сокращается…

Знаете ли Вы свойства степенных рядов?

[GAA]

$$\frac 1 {16} \left[ \sum\limits_1^{\infty} \left( \frac 1 {2n-1} - \frac 1 {2n+1} \right) + \sum\limits_1^{\infty} \frac 1 {(2n-1)^2} + \sum\limits_1^{\infty} \frac 1 {(2n+1)^2} \right]$$

Первый — «телескоп» (сумма равна 1). А вот для вычисления второго и третьего надо знать изученный материал (на какую тему упражнение).

-- Чт 06.07.2017 23:50:34 --

Три или четыре варианта решения уже на форуме рассматривалось.

-- Чт 06.07.2017 23:56:57 --

Так что, хорошо бы axeler44 сообщить изученные курсы.

[Someone]

Ну, третий ряд от второго отличается только тем, что отсутствует один член.

[GAA]

Someone, это конечно. Но вот каким из способов допустимо находить сумму — знает только ТС. (Может у него ТФКП ещё не было)

[Я не буду мешать. Я опечатку в заголовке зашёл отредактировать. Просто удивился, что не задают сразу вопрос о пройденном материале.]

[Someone]

GAA в сообщении #1231959 писал(а):

Я не буду мешать.

Да Вы не мешаете. Я бы сказал, наоборот.

GAA в сообщении #1231959 писал(а):

Может у него ТФКП ещё не было

Ну, может быть, тригонометрические ряды были. Из разложений некоторых простых функций можно требуемую сумму найти.

[GAA]

Да, конечно. Это, пожалуй, самый простой способ при минимуме изученного материала.