2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нахождение суммы числового ряда
Сообщение06.07.2017, 18:14 


21/06/17
7
День добрый!
имеется ряд:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(4n^2-1)^2}$

подскажите пожалуйста как найти сумму.


пробовал решить методом неопределенных коэффициентов, получил коэфф A B C D, нашел их значения

$$\ A= \frac{3}{16}$, $$\ B= \frac{1}{16}$, $$\ C= \frac{-1}{16}$, $$\ D= \frac{1}{16}$.

в процессе дальнейшего решения возникли сомнения в правильности выбранного метода.

подскажите как можно решить этот ряд иным способом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение суммы числового ляда
Сообщение06.07.2017, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Коэффициенты неправильные. Когда посчитаете правильно коэффициенты, то остается сгруппировать ряды нужным образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение суммы числового ляда
Сообщение06.07.2017, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10907
Crna Gora

(Оффтоп)

axeler44 в теме 119420 писал(а):
числового ляда
Когда б узнать, ради какого ляда
Ищу я сумму числового ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение суммы числового ляда
Сообщение07.07.2017, 00:14 


21/06/17
7
Благодарю, demolishka!
demolishka в сообщении #1231928 писал(а):
Коэффициенты неправильные. Когда посчитаете правильно коэффициенты, то остается сгруппировать ряды нужным образом.


пересчитал, раскладывал на два слагаемых, получил коэффициенты:

$ B = \frac{1}{4}$ и $ D = \frac{1}{4}$

а вместе с тем два ряда

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4(4n^2-1)} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4(4n^2-1)^2} $

подставлял значения, ни на один из известных мне рядов не похожи.

единственное, если разложить квадрат, то ряд отчасти похожа на ряд Лейбница (но ряд Лейбница является знакочередующимся)

-- 07.07.2017, 01:25 --


 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение суммы числового ляда
Сообщение07.07.2017, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
axeler44 в сообщении #1231948 писал(а):
единственное, если разложить квадрат, то ряд отчасти похожа на ряд Лейбница
А Вы таки разложите на четыре дроби. И выпишите после этого 4-5 членов, разложенных на эти дроби. Увидите, что там кое-что сокращается…

Знаете ли Вы свойства степенных рядов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение суммы числового ляда
Сообщение07.07.2017, 00:45 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
$$\frac 1 {16} \left[  \sum\limits_1^{\infty} \left( \frac 1 {2n-1} - \frac 1 {2n+1} \right) +  \sum\limits_1^{\infty} \frac 1 {(2n-1)^2} + \sum\limits_1^{\infty} \frac 1 {(2n+1)^2} \right]$$Первый — «телескоп» (сумма равна 1). А вот для вычисления второго и третьего надо знать изученный материал (на какую тему упражнение).

-- Чт 06.07.2017 23:50:34 --

Три или четыре варианта решения уже на форуме рассматривалось.

-- Чт 06.07.2017 23:56:57 --

Так что, хорошо бы axeler44 сообщить изученные курсы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение суммы числового ляда
Сообщение07.07.2017, 01:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Ну, третий ряд от второго отличается только тем, что отсутствует один член.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение суммы числового ряда
Сообщение07.07.2017, 01:04 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Someone, это конечно. Но вот каким из способов допустимо находить сумму — знает только ТС. (Может у него ТФКП ещё не было)

[Я не буду мешать. Я опечатку в заголовке зашёл отредактировать. Просто удивился, что не задают сразу вопрос о пройденном материале.]

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение суммы числового ряда
Сообщение07.07.2017, 01:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
GAA в сообщении #1231959 писал(а):
Я не буду мешать.
Да Вы не мешаете. Я бы сказал, наоборот.

GAA в сообщении #1231959 писал(а):
Может у него ТФКП ещё не было
Ну, может быть, тригонометрические ряды были. Из разложений некоторых простых функций можно требуемую сумму найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение суммы числового ряда
Сообщение07.07.2017, 01:25 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Да, конечно. Это, пожалуй, самый простой способ при минимуме изученного материала.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: wrest


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group