Почему уравнение Пуассона иногда записывают с минусом?

[Mathew Rogan]

Спрошу в этой теме, чтобы не заводить новую. Кто-нибудь может подсказать, почему в некоторых источниках уравнение Пуассона для гравитационного потенциала записывается со знаком минус (как в электростатике):

$$ \bigtriangleup \varphi=-4 \pi G \rho. $$

К подобным источникам можно отнести, например, справочник Яворского и Детлафа; некоторые пособия по небесной механике/астрономии; некоторые англоязычные справочники. В курсах теоретической физики, как правило, всегда стоит знак плюс, который, по всей логике, там и должен быть.

[Munin]

Два одноимённых гравитирующих тела притягиваются. Два одноимённых электрических заряда отталкиваются. Поэтому для электрических зарядов в уравнении знак "минус" *), а для гравитационного случая - знак "плюс" *). Там, где вы видели это уравнение в теоретической физике - там обсуждался общий случай, а в нём принято ставить знаки как в электричестве.

*) Update: сначала я по ошибке поставил знаки наоборот. Сейчас правильно.

[Legioner93]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1231723 писал(а):

Два одноимённых гравитирующих тела притягиваются. Два одноимённых электрических заряда отталкиваются.

Меня недавно удивил факт, что два разноимённых гравитирующих тела вовсе не буду отталкиваться. По-моему любопытно.

[Munin]

Legioner93 в сообщении #1231751 писал(а):

Меня недавно удивил факт, что два разноимённых гравитирующих тела вовсе не буду отталкиваться. По-моему любопытно.

А вот это зависит от теории, поскольку на практике проверить нельзя.

ОТО говорит, что знак ТЭИ отражается в знаке силы, но $\mathrm{T}$-сопряжение не меняет знака ТЭИ.

То, что гравитация - тензорная 2 ранга, проверено по отклонению света Солнцем.

[Pphantom]

Mathew Rogan в сообщении #1231713 писал(а):

Спрошу в этой теме, чтобы не заводить новую

На будущее - это было плохой идеей.

[Mathew Rogan]

Munin в сообщении #1231723 писал(а):

Там, где вы видели это уравнение в теоретической физике - там обсуждался общий случай, а в нём принято ставить знаки как в электричестве.

Да нет, например, в Ландафшице всё вполне конкретно для электрического поля:


и для гравитационного:

[svv]

У Яворского и Детлафа ошибка. Подчёркнутые формулы противоречат друг другу. Ведь известно, что $\Delta(\frac 1 r)=-4\pi\delta(\mathbf r)$ (ЛЛ2, формула (36.9)).


-- Чт июл 06, 2017 12:18:32 --

На пальцах. Допустим, потенциал точечной массы выглядит, как на левой картинке, в соответствии с Яворским-Детлафом. Распределим массу равномерно по шару, потенциал будет, как на правой картинке: вне шара останется тем же, а внутри сгладится, сингулярности не будет. Видно, что вторая производная в шаре положительна, таким же будет и лапласиан.

[Mathew Rogan]

svv в сообщении #1231827 писал(а):

У Яворского и Детлафа ошибка. Подчёркнутые формулы противоречат друг другу.

Вот и я о том же. Просто не только у них этот знак минус откуда-то берётся. Вот я и задумался, в чём подвох.

Например, в книге Кошлякова Н.С. "Уравнения в частных производных математической физики" даётся уравнение Пуассона для потенциала силы тяжести (с учётом центробежного потенциала):

Оба знака даны неправильно, должно быть:

$$ \bigtriangleup \varphi=4 \pi G \rho - 2 \omega^2. $$

[Munin]

О! Я так и знал! В настоящем Яворском (1915-1996) и Детлафе (1922-2003) - этой ошибки просто нет! Там вообще всё не так записано!
Настоящий - это издания 1985 года. А потом пришли ещё какие-то соавторы, всё переделали и испортили.

Не путайте оригинал с подделкой!

(Должен сказать, что я не посмотрел, и в первом сообщении написал всё наоборот: это в электростатике "минус", а в гравитации "плюс". Мог бы даже в уме сообразить, но поленился :-( Извините!)

[svv]

Mathew Rogan в сообщении #1231829 писал(а):

Оба знака даны неправильно, должно быть:

$$ \bigtriangleup \varphi=4 \pi G \rho - 2 \omega^2. $$

Да. Потенциал центробежной силы при вращении вокруг оси $Oz$ я бы записал как $-\frac 1 2\omega^2(x^2+y^2)$, лапласиан будет $-2\omega^2$.
В принципе, автор мог бы ещё выкрутиться, если бы заявил, что сила, действующая на единичную массу, равна плюс (что нестандартно, конечно) градиенту потенциала... Посмотрите, не делает ли он так?

[Munin]

Mathew Rogan в сообщении #1231829 писал(а):

Например, в книге Кошлякова Н.С. "Уравнения в частных производных математической физики" даётся уравнение Пуассона для потенциала силы тяжести (с учётом центробежного потенциала):

Оба знака даны неправильно, должно быть:

$$ \bigtriangleup \varphi=4 \pi G \rho - 2 \omega^2. $$

Это тоже косяк какой-то, но Кошлякову можно: он пишет про математику, а не про физику. В математике, вообще говоря, плевать, какой знак у правой части. Просто зададим функцию с другим знаком, и получится всё как надо (правда, центробежного потенциала это не оправдывает). В математике уравнение Пуассона вообще записывается как

$$\Delta u=f.$$

[svv]

Munin в сообщении #1231832 писал(а):

А потом пришли ещё какие-то соавторы, всё переделали и испортили.

Интересно, что в Genesis, откуда я это скачивал, напротив этой книги 2006 года издания значится пометка «[издание] восьмое, переработанное и исправленное».


P.S. Просто в самой книге эта пометка.

[Munin]

Вот правильные знаки:
https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson's_equation
https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_Пуассона

-- 06.07.2017 12:59:44 --

svv
Да уж, "понаисправлял" Лебедев А.К., лучше бы не брался вообще. Зато свою фамилию на обложку вынес. Увы! "Лихие постсоветские годы".

[Mathew Rogan]

Что ж, всем большое спасибо! Давно не давал покоя этот вопрос, теперь, наконец, всё встало на свои места.

[Munin]

Кстати, у той же книги есть 8-е издание стереотипное, 2005 года, без Лебедева, но под другим названием :-)
Яворский Б.М., Детлаф А.А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы.
И текст там старый.

-- 06.07.2017 13:10:49 --

Теперь с Кошляковым ещё надо разобраться. Вообще он автор хороший.

-- 06.07.2017 13:11:32 --

svv в сообщении #1231838 писал(а):

Интересно, что в Genesis, откуда я это скачивал

Там же можно скачать и книгу 1985 года (крайне рекомендую!), и даже 1968 года.