Задача "о семи кругахъ"

[Dimoniada]

Помогите решить задачку по планиметрии.
В тр-ике ABC строится цепочка окружностей: 1-ая касается сторон a и b,
2-ая -- сторон b и c, а также первой окружности, 3-тья -- сторон c и a и второй окружности, и. т. д. Необходимо доказать, что 6-ая окружность всегда каснётся 1-ой.

[Парджеттер]

Dimoniada, а у вас есть какие-нибудь мысли по этому поводу?

[Dimoniada]

Парджеттер, я пробовала написать ур-ния, связывающие радиусы двух идущих подряд окр. и элементы треугольника, но сложно очень получается.

[незваный гость]

Alexander Bogomolny писал(а):

The problem has been posed by Noam D. Elkies in the American Mathematical Monthly (1987, 877). A solution by Jiro Fukuta has been published in 1990 (v. 97, issue 6, pp. 530-531)

Там же приводится решение.

У меня есть другое решение, весьма техническое. Основная идея — обозначить расстояние от центра первого круга до $C$ как $x_c$ и т.д. Тогда легко написать квадратное уравнение, связывающее $x_c$, $x_a$ (через углы). Аналогично имеем для $x_a$, $x_b$. Если внимательно посчитать, можно получить линейное уравнение $x_c$, $x_b$, $x_a$.

Дальше — больше: если продолжить, то уравнение, связывающее $x$ы для кругов через один, окажется не только линейным, но и симметричным относительно циклической замены. Отсюда необходимо следует нужный результат.

Вот только выкладки имеют примечательную длину, да и формулы тоже.

[Dimoniada]

Вообщем, идея решения одна и та же. Я думала, что существует красивое геометрическое доказательство без уравнений. Но и на том спасибо

[AndAll]

Dimoniada писал(а):

Вообщем, идея решения одна и та же. Я думала, что существует красивое геометрическое доказательство без уравнений. Но и на том спасибо

Попробую описать геометрическое решение, вроде бы красивое, но не знаю, достаточно ли красивое, чтобы быть и правильным.
В треугольнике строите первую и вторую окружности. Будем считать, что первая окружность вписана в угол А, вторая в угол В. Считая точку В неподвижной, вращаете треугольник до совмещения сторон a и с. Строите третью окружность и вращаете треугольник в ту же сторону относительно той точки, в угол которой вписана третья окружность, т.е С до совмещения сторон a и b. Продолжаете в том же духе.
После шести таких поворотов треугольник (наверное) совместится с исходным. Каждая последняя окружность до поворота, касается себя же после поворота.
Конечно, такое построение не есть доказательство, но возможно к нему приведет.
Возможно, придется воспользоваться тем, что изменив направление вращения мы придем к тому же результату. Или использовать три поворота в одну и три в другую стороны.

[нг]

Похоже, теме и задаче лучше быть в «Олимпиадных задачах»

[TOTAL]

AndAll писал(а):

Попробую описать геометрическое решение, вроде бы красивое, но не знаю, достаточно ли красивое, чтобы быть и правильным.
В треугольнике строите первую и вторую окружности. Будем считать, что первая окружность вписана в угол А, вторая в угол В. Считая точку В неподвижной, вращаете треугольник до совмещения сторон a и с. Строите третью окружность и вращаете треугольник в ту же сторону относительно той точки, в угол которой вписана третья окружность, т.е С до совмещения сторон a и b. Продолжаете в том же духе.
После шести таких поворотов треугольник (наверное) совместится с исходным. Каждая последняя окружность до поворота, касается себя же после поворота.

Зачем нужны все эти вращения треугольника?
Как они помогают поверить, что седьмая окружность совпадёт с первой?