The problem has been posed by Noam D. Elkies in the American Mathematical Monthly (1987, 877). A solution by Jiro Fukuta has been published in 1990 (v. 97, issue 6, pp. 530-531)
Там же приводится решение.
У меня есть другое решение, весьма техническое. Основная идея — обозначить расстояние от центра первого круга до

как

и т.д. Тогда легко написать квадратное уравнение, связывающее

,

(через углы). Аналогично имеем для

,

. Если внимательно посчитать, можно получить линейное уравнение

,

,

.
Дальше — больше: если продолжить, то уравнение, связывающее

ы для кругов через один, окажется не только линейным, но и симметричным относительно циклической замены. Отсюда необходимо следует нужный результат.
Вот только выкладки имеют примечательную длину, да и формулы тоже.