Представление числа 2

[Ktina]

Представимо ли число 2 в виде

$$x^n-y^n+z^n$$

, где $x, y, z\in\mathbb{N}$, при некотором целом $n>2$?

[gris]

Не, ну в глаза сразу божья роса в виде $5^3+6^3-7^3$. Только это $-2$, кажется

[lel0lel]

А мне это бросилось сразу $2+4^2=3^2+3^2$.
Кроме того, таких представлений при $n=2$ бесконечно много. Перепишем $2+y^2=x^2+z^2$. Слева число вида $y^2+2$, среди чисел такой формы найдется бесконечное количество, представимых в виде суммы двух квадратов. Например, это простые сравнимые с 1 по модулю 4 (согласно теореме Эйлера-Ферма).

P.S. Не внимательно прочитал условие. Случай $n=2$ исключен.

[Ktina]

gris в сообщении #1231474 писал(а):

Не, ну в глаза сразу божья роса в виде $5^3+6^3-7^3$. Только это $-2$, кажется

Так в том-то и соль, что минус. А вот двойка, кажется, непредставима вообще. Открытая проблема?

-- 04.07.2017, 16:01 --

lel0lel в сообщении #1231479 писал(а):

А мне это бросилось сразу $2+4^2=3^2+3^2$

Именно этот факт и подал мне идею для задачи. При второй степени любое натуральное число представимо, а при более высоких степенях непредставима (кажется, непредставима) даже двойка.

[tolstopuz]

$$2=3480205^3-3528875^3+1214928^3$$

отсюда

[grizzly]

Сабж был упомянут ещё в книге Серпинского (1961). См. это сообщение от Andrey A.
UPD. Я ошибся, там параметрическое представление для $-2$ (в терминах этой темы).

tolstopuz
На всякий случай: здесь более свежие результаты в том же направлении.

[Ktina]

tolstopuz в сообщении #1231502 писал(а):

$$2=3480205^3-3528875^3+1214928^3$$

отсюда

Большое спасибо!