2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение30.06.2017, 09:44 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Может ли в равенстве $$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$$ одно из чисел $x$, $y$ или $z$ быть факториалом натурального числа, другое – квадратом натурального числа, третье – кубом натурального числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение30.06.2017, 21:41 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Лучшее что мог придумать $\dfrac{1}{4!}=\dfrac{1}{18^3}+\dfrac{1}{(54/11)^2}$
Здесь два числа натуральные. Если развивать общую теорию, то этого делать лучше не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение01.07.2017, 10:32 


30/06/17
1
Среди первых 1000 квадратов, кубов и факториалов подходящей комбинации нет. Скорее всего её вовсе не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение01.07.2017, 10:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Интересно, если исключить требование факториальности, то есть поискать обратные квадраты и кубы, сумма или разность которых сокращается до единицы в числителе, то решений есть немного:
$\dfrac 18=\dfrac14-\dfrac18;\;\dfrac 1{72}=\dfrac18-\dfrac19;\;\dfrac 1{32}=\dfrac1{64}+\dfrac1{64}$
(Ну и вообще обратные шестые степени чётных).

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение01.07.2017, 11:05 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Latayumee в сообщении #1230868 писал(а):
Среди первых 1000 квадратов, кубов и факториалов подходящей комбинации нет. Скорее всего её вовсе не существует.

От Вашего "скорее всего" пессимизмом за колоду вёрст разит, уж простите. Неужели 1000 является достаточно большим числом? А вдруг среди первых $10^{1000}$ квадратов, кубов и факториалов подходящая комбинация встретится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение01.07.2017, 18:01 


03/10/06
826
В какой части факториалу место?
$$x=\dfrac{yz}{y+z}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение02.07.2017, 00:28 


03/10/06
826
Есть решение например для двух факториалов и куба.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение02.07.2017, 23:33 


03/10/06
826
Начальное равенство приводится к следующему виду:
$$\dfrac{b+1}{ab(b+1)}=\dfrac{b}{ab(b+1)}+\dfrac{1}{ab(b+1)}$$
$z$ под единицей, а $x$ и $y$ домножены на числители. Вроде бы никак не получится свести эти три натуральных числа к квадрату, кубу и факториалу. Единицу возможно заменить на $a$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group