Факториал, квадрат и куб в равенстве

[Ktina]

Может ли в равенстве

$$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$$

одно из чисел $x$, $y$ или $z$ быть факториалом натурального числа, другое – квадратом натурального числа, третье – кубом натурального числа?

[scwec]

Лучшее что мог придумать $\dfrac{1}{4!}=\dfrac{1}{18^3}+\dfrac{1}{(54/11)^2}$
Здесь два числа натуральные. Если развивать общую теорию, то этого делать лучше не надо.

[Latayumee]

Среди первых 1000 квадратов, кубов и факториалов подходящей комбинации нет. Скорее всего её вовсе не существует.

[gris]

Интересно, если исключить требование факториальности, то есть поискать обратные квадраты и кубы, сумма или разность которых сокращается до единицы в числителе, то решений есть немного:
$\dfrac 18=\dfrac14-\dfrac18;\;\dfrac 1{72}=\dfrac18-\dfrac19;\;\dfrac 1{32}=\dfrac1{64}+\dfrac1{64}$
(Ну и вообще обратные шестые степени чётных).

[Ktina]

Latayumee в сообщении #1230868 писал(а):

Среди первых 1000 квадратов, кубов и факториалов подходящей комбинации нет. Скорее всего её вовсе не существует.

От Вашего "скорее всего" пессимизмом за колоду вёрст разит, уж простите. Неужели 1000 является достаточно большим числом? А вдруг среди первых $10^{1000}$ квадратов, кубов и факториалов подходящая комбинация встретится?

[yk2ru]

В какой части факториалу место?

$$x=\dfrac{yz}{y+z}$$

[yk2ru]

Есть решение например для двух факториалов и куба.

[yk2ru]

Начальное равенство приводится к следующему виду:

$$\dfrac{b+1}{ab(b+1)}=\dfrac{b}{ab(b+1)}+\dfrac{1}{ab(b+1)}$$

$z$ под единицей, а $x$ и $y$ домножены на числители. Вроде бы никак не получится свести эти три натуральных числа к квадрату, кубу и факториалу. Единицу возможно заменить на $a$.