2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение30.06.2017, 09:44 
Аватара пользователя
Может ли в равенстве $$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$$ одно из чисел $x$, $y$ или $z$ быть факториалом натурального числа, другое – квадратом натурального числа, третье – кубом натурального числа?

 
 
 
 Re: Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение30.06.2017, 21:41 
Лучшее что мог придумать $\dfrac{1}{4!}=\dfrac{1}{18^3}+\dfrac{1}{(54/11)^2}$
Здесь два числа натуральные. Если развивать общую теорию, то этого делать лучше не надо.

 
 
 
 Re: Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение01.07.2017, 10:32 
Среди первых 1000 квадратов, кубов и факториалов подходящей комбинации нет. Скорее всего её вовсе не существует.

 
 
 
 Re: Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение01.07.2017, 10:59 
Аватара пользователя
Интересно, если исключить требование факториальности, то есть поискать обратные квадраты и кубы, сумма или разность которых сокращается до единицы в числителе, то решений есть немного:
$\dfrac 18=\dfrac14-\dfrac18;\;\dfrac 1{72}=\dfrac18-\dfrac19;\;\dfrac 1{32}=\dfrac1{64}+\dfrac1{64}$
(Ну и вообще обратные шестые степени чётных).

 
 
 
 Re: Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение01.07.2017, 11:05 
Аватара пользователя
Latayumee в сообщении #1230868 писал(а):
Среди первых 1000 квадратов, кубов и факториалов подходящей комбинации нет. Скорее всего её вовсе не существует.

От Вашего "скорее всего" пессимизмом за колоду вёрст разит, уж простите. Неужели 1000 является достаточно большим числом? А вдруг среди первых $10^{1000}$ квадратов, кубов и факториалов подходящая комбинация встретится?

 
 
 
 Re: Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение01.07.2017, 18:01 
В какой части факториалу место?
$$x=\dfrac{yz}{y+z}$$

 
 
 
 Re: Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение02.07.2017, 00:28 
Есть решение например для двух факториалов и куба.

 
 
 
 Re: Факториал, квадрат и куб в равенстве
Сообщение02.07.2017, 23:33 
Начальное равенство приводится к следующему виду:
$$\dfrac{b+1}{ab(b+1)}=\dfrac{b}{ab(b+1)}+\dfrac{1}{ab(b+1)}$$
$z$ под единицей, а $x$ и $y$ домножены на числители. Вроде бы никак не получится свести эти три натуральных числа к квадрату, кубу и факториалу. Единицу возможно заменить на $a$.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group