Общая космологическая модель с плоским простр. сечением

[SergeyGubanov]

В моём предыдущем сообщении ошибка, правильные уравнения на $f(t)$ и $h(t)$:

$$ \frac{\dot{h}}{h} = \frac{1}{f}, \quad \dot{f} = \frac{3}{4} + f^2 \left( \frac{1}{4 h^2} - \frac{4\lambda^2}{3} \right) \eqno(2) $$

При $\lambda=0$ получается $f(t)=t$, $h(t)=t$.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1018161 писал(а):

$$ T_{\mu \nu} = \varepsilon \; U_{\mu} U_{\nu} $$

$$ U_{\mu} = \left\{ 1, 0, 0, 0 \right\}, \quad U^{\mu} = \left\{ 1, V(t, r), 0, 0 \right\}. $$

То есть у дважды ковариантного тензора энергии импульса отлична от нуля только одна компонента $T_{t t} = \varepsilon$.

В то же время у дважды контравариантного тензора энергии импульса кроме $T^{t t} = \varepsilon$ ещё отличны от нуля $T^{t r} = \varepsilon V$ и $T^{r r} = \varepsilon V^2$.

Все равно не стыкуется.
В статьях , например Толмена и Геделя, как раз контравариантная компонента скорости имеет такой вид , как у Вас ковариантная. И нулевая компонента не совпадает.
Распишем Вашу метрику.

$ds^2=dt^2(1-V^2)+2Vdrdt-dr^2-r^2(d{\theta}^2+\sin^2{\theta}s{\varphi}^2)$

прямая и обратная матрица метрического тензора:

$ \begin{pmatrix}1-{V}^{2} & V & 0 & 0\cr V & -1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & -{r}^{2} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\end{pmatrix} \quad$

$\begin{pmatrix}1 & V & 0 & 0\cr V & \left( V-1\right) \,\left( V+1\right) & 0 & 0\cr 0 & 0 & -\frac{1}{{r}^{2}} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}\end{pmatrix} $

Контравариантная нулевая компонента скорости.

$dt/ds=\frac{1}{\sqrt{1-V^2}}$

$T^{00}=\epsilon$

смешанная компонента:

$$T_{1}^{0}={\epsilon}g_{01}\frac{dx^{0}}{ds}\frac{dx^{0}}{ds}={\epsilon}V(dt/ds)^2=\frac{{\epsilon}V}{1-V^2}$$

[SergeyGubanov]

schekn, четырёхскорость $U^{\mu}$ пылинок обладает свойством

$$ g_{\mu \nu} U^{\mu} U^{\nu} = 1, \eqno(1) $$

и удовлетворяет уравнению геодезической

$$ U^{\mu} \nabla_{\mu} U^{\nu} = 0. \eqno(2) $$

Для рассматриваемой метрики

$$ ds^2 = dt^2 - \left(dr - V dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) d\varphi^2, \eqno(3) $$

решая уравнения (1)-(2) для контравариантных и ковариантных компонент четырёхскорости соответственно получаем:

$$ U^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} = \frac{\partial}{\partial t} + V \frac{\partial}{\partial r}, \eqno(4) $$

$$ U_{\mu} dx^{\mu} = dt. \eqno(5). $$

Таким образом дважды ковариантный тензор энергии импульса

$$ T_{\mu \nu} = \varepsilon U_{\mu} U_{\nu}, \eqno(6) $$

в выбранной системе координат имеет всего одну компоненту отличную от нуля

$$ T_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} = \varepsilon \, dt^2. \eqno(7) $$

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1019312 писал(а):

Для рассматриваемой метрики

$$ ds^2 = dt^2 - \left(dr - V dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) d\varphi^2, \eqno(3) $$

Так метрика, которую я выписал выше эквивалентна вашей (3) почему у вас $U^{0}=1$ ? ($g_{00}=1-V^2 $)

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #1019330 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1019312 писал(а):

Для рассматриваемой метрики

$$ ds^2 = dt^2 - \left(dr - V dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) d\varphi^2, \eqno(3) $$

Так метрика, которую я выписал выше эквивалентна вашей (3) почему у вас $U^{0}=1$ ? ($g_{00}=1-V^2 $)

$$ g_{t t} = 1 - V^2, \; g_{t r} = V, \; g_{r r} = -1; \qquad g^{t t} = 1, \; g^{t r} = V, \; g^{r r} = V^2 - 1. \eqno(1) $$

$$ U_t = 1, \; U_{r} = 0, \; U_{\theta} = 0, \; U_{\varphi} = 0; \qquad U^{t} = 1, \; U^{r} = V, \; U^{\theta} = 0, \; U^{\varphi} = 0. \eqno(2) $$

$$ g_{\mu \nu} U^{\mu} U^{\nu} = g_{t t} U^{t} U^{t} + 2 g_{t r} U^{t} U^{r} + g_{r r} U^{r} U^{r} = (1 - V^2) U^{t} U^{t} + 2 V U^{t} U^{r} - U^{r} U^{r} = (1 - V^2) + 2 V^2 - V^2 = 1. \eqno(3) $$

$$ g^{\mu \nu} U_{\mu} U_{\nu} = g^{t t} U_{t} U_{t} = g^{t t} = 1. \eqno(4) $$

[SergeyGubanov]

Оформил вышеизложенное в виде статьи, перевёл на английский стал посылать в arXiv, выяснилось, что мне нужен endorser в разделе gr-qc (General Relativity and Quantum Cosmology).

К вышеизложенному добавил задачи со Вселенной заполненной излучением и нерелятивистским газом.
Добавил раздел с ультрарелятивистским взрывом небесного тела.
Нашёл способ порождения бесконечного количества семейств решений Толменовского типа.

[e-mail] писал(а):

(Sergey Gubanov should forward this email to someone who's registered as
an endorser for the gr-qc (General Relativity and Quantum Cosmology)
archive of arXiv.)

Sergey Gubanov requests your endorsement to submit an article to the
gr-qc section of arXiv. To tell us that you would (or would not) like to
endorse this person, please visit the following URL:...

Если кто-нибудь может стать моим endorser в gr-qc прошу написать мне в личный кабинет.

Статья которую я хочу отправить: Spherically symmetric gravitation field

Аннотация

The general solution of the system of General Relativity equations has been found for isotropic Universe with the flat spatial distribution and synchronized time taking into account a perfect dust and the cosmological constant. Schwarzschild, Friedmann and Einstein--de Sitter solutions (as well as all of their fusion with each other) are special cases of the found general solution.
A method of generating an infinite number of Tolman's like solutions has been found.
Exact solutions has been found for the spherically symmetric gravitational field of perfect dust clouds in the expanding Universe filled with radiation.
A system of ordinary differential equations has been obtained for the spherically symmetric gravitational field of perfect dust clouds in the expanding Universe filled with radiation and nonrelativistic gas.
A system of equations has been obtained for the spherically symmetric gravitational field of ultrarelativistic celestial body explosion (supernova, quasar).
The problem of a negative density of a perfect dust cloud in General Relativity has been considered.

[SergeyGubanov]

The spherically symmetric gravitational field
Sergey Gubanov
(Submitted on 14 Jun 2017)
Cite as: arXiv:1706.04444 [gr-qc]
http://arxiv.org/abs/1706.04444

[SergeyGubanov]

После появления статьи в arXiv со мной связался Michel Mizony и сообщил мне о своих работах с метрикой того же вида:

$$ ds^2 = dt^2 - \left( \frac{dr - V(t,r) \, dt}{ W(t,r) } \right)^2 - r^2 \left( d \theta^2 + \sin^2(\theta) d \varphi^2 \right) $$

Cosmological effects in the local static frame
avec Marc Lachièze-Rey, Novembre 2004, A&A, Volume 434, Issue 1, April IV 2005, pp. 45-52
https://arxiv.org/abs/gr-qc/0412084

"Sur la forme de Painlevé d'une métrique à symétrie sphérique"
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00782038v2

"La variété de de Sitter et le principe de Mach".
http://math.univ-lyon1.fr/~mizony/la_variete_de_de_Sitter_v2.pdf

[schekn]

SergeyGubanov
Вроде мне говорили, что для публикаций в архиве нужны два поручителя. Как теперь обстоит дело?
И по теме: какой "практический" результат вашей работы, если можно так выразиться?
Может вы уточняете какие-то расчеты или предлагаете альтернативную модель для
однородной изотропной вселенной?
То , что у вас Шварцшильд переходит не в плоскую метрику , а в Леметра это что-то уточняет?

[SergeyGubanov]

schekn, endorser может быть "за" или "против". Количество "за" должно быть больше чем "против".

Результаты работы (перевожу на русский abstract, с комментариями):

1) Найдено общее сферически симметричное решение с плоским пространственным сечением с учётом пыли и космологической постоянной. Решения Шварцшильда, Фридмана, Эйнштейна - де Ситтера (а так же все их возможные комбинации друг с другом) являются частными случаями найденного общего решения (разумеется одними только ими всё разнообразие частных решений не исчерпывается).

2) Найден метод порождения бесконечного количества решений Толменовского типа. Раньше считалось, что решение Толмена - наиболее общее. Так вот оказывается толменоподобных решений бесконечно много.

3) Найдены точные решения для пылевого облака в расширяющейся Вселенной заполненной излучением. Ранее люди занимались поиском приближённыех решений.

4) Выписана [совместная, согласованная] система обыкновенных дифференциальных уравнений для случая пылевого облака в расширяющейся Вселенной заполненной не только излучением, но ещё и нерелятивистским газом.

5) Выписана [совместная, согласованная] система уравнений для внешнего гравитационного поля "взрывающегося" пылевого облака, из которого идёт мощный поток излучения (квазар, взрыв сверхновой). Вселенная при этом разумеется тоже может быть не статична.

6) У большинства найденных решений в той или иной области пространства-времени $G_{t t}$ может быть отрицательный. В силу $t t$ уравнения ОТО это означает отрицательную плотность пыли, что невозможно в силу положительной определённости плотности пыли. Значит большинство найденных решений в той или иной области пространства-времени не принадлежат ОТО. Спрашивается, а какой тогда теории гравитации они принадлежат? Оказывается, все найденные решения принадлежат теории гравитации Бурланкова.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1227878 писал(а):

Значит большинство найденных решений в той или иной области пространства-времени не принадлежат ОТО

Со мной многие не согласятся, но именно наличие множества моделей (в основном непроверенных) это недостаток теории, а не плюс. Слишком много получается подгоночных параметров в одной теории . Для экспериментатора это дополнительная сложность именно в интерпретации опытных данных.
Ну как пример: сначала ввели космологический член, потом отказались , теперь опять ввели. Найдут другой объяснение данным по красному смещению сверхновых - опять откажутся?
И второй момент. Я так понял, что в вашей схеме все трудности ОТО сохраняются. Скажем, введение энергии импульса гравитационного поля в ОТО возможно для асимптотически плоских полей и при фиксированной фоновой геометрии. Вы не оставляете и этого шанса.

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #1228691 писал(а):

Со мной многие не согласятся, но именно наличие множества моделей (в основном непроверенных) это недостаток теории, а не плюс. Слишком много получается подгоночных параметров в одной теории . Для экспериментатора это дополнительная сложность именно в интерпретации опытных данных. Ну как пример: сначала ввели космологический член, потом отказались , теперь опять ввели. Найдут другой объяснение данным по красному смещению сверхновых - опять откажутся?

Сферически симметричное пылевое облако в расширяющейся/сжимающейся Вселенной (оснащённой космологической постоянной и заполненной излучением) может быть сильно разное, и расширение/сжатие Вселенной в свою очередь зависит от того какое именно это облако. Констант интегрирования получается бесконечно много - произвольная функция от двух аргументов $F(\alpha, \beta)$.

Это не множество несвязанных друг с другом космологических моделей, а это одна и та же космологическая модель просто зависящая от произвольной функции $F(\alpha, \beta)$.

schekn в сообщении #1228691 писал(а):

И второй момент. Я так понял, что в вашей схеме все трудности ОТО сохраняются. Скажем, введение энергии импульса гравитационного поля в ОТО возможно для асимптотически плоских полей и при фиксированной фоновой геометрии. Вы не оставляете и этого шанса.

Боюсь вы не поняли. В теории Бурланкова (в отличие от ОТО) всегда есть $P^{\mu}$ - сохраняющийся ток энергии-импульса $\nabla_{\mu} P^{\mu} = 0$.

Берём метрику

$$ g_{\mu \nu} = \frac{\partial t}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial t}{\partial x^{\nu}} - e^{(1)}_{\mu} e^{(1)}_{\nu} - e^{(2)}_{\mu} e^{(2)}_{\nu} - e^{(3)}_{\mu} e^{(3)}_{\nu} \eqno(108) $$

Варьируем действие Гильберта по двеннадцати функциям $e^{(1)}_{\mu}(x)$, $e^{(2)}_{\mu}(x)$, $e^{(3)}_{\mu}(x)$, получаем двенадцать уравнений (из них линейно независимыми являются только девять):

$$ \left( T^{\mu \nu} + \frac{\lambda^2}{6\pi \kappa} g^{\mu \nu} - \frac{1}{8 \pi \kappa} G^{\mu \nu} \right) e^{(i)}_{\nu} = 0 \eqno(110) $$

Теперь варьируем действие Гильберта по функции $t(x)$, получаем ещё одно уравнение:

$$ \nabla_{\mu} \left( \left( T^{\mu \nu} + \frac{\lambda^2}{6\pi \kappa} g^{\mu \nu} - \frac{1}{8 \pi \kappa} G^{\mu \nu} \right) \frac{\partial t}{\partial x^{\nu}} \right) = 0 \eqno(111) $$

Из-за тождеств Гильберта уравнение (111) выполняется автоматически если выполнены уравнения (110). Уравнение (111) - это закон сохранения тока энергии-импульса $P^{\mu}$:

$$ P^{\mu} = \left( T^{\mu \nu} + \frac{\lambda^2}{6\pi \kappa} g^{\mu \nu} - \frac{1}{8 \pi \kappa} G^{\mu \nu} \right) \frac{\partial t}{\partial x^{\nu}}, \qquad \nabla_{\mu} P^{\mu} = 0. \eqno(112) $$

[VladTK]

Сергей, поздравляю с хорошей статьей. Мне понравилось. Но есть мое персональное замечание - зачем Вы столько материала вложили в одну статью? Там же на целый цикл хватит. Ну и о знаке в формуле (102) из статьи. Там все правильно? Не должно ли быть

$$ L=\frac{1}{2} m \gamma_{ij} (\dot{x}^i-V^i) (\dot{x}^j+V^j) $$

Цитата:

...6) У большинства найденных решений в той или иной области пространства-времени  может быть отрицательный. В силу  уравнения ОТО это означает отрицательную плотность пыли, что невозможно в силу положительной определённости плотности пыли. Значит большинство найденных решений в той или иной области пространства-времени не принадлежат ОТО...

Почему не принадлежат ОТО, если они являются решениями уравнений ее поля? ОТО не определяет тензора энергии-импульса. Она лишь требует от него симметрии и "сохранения" $D_j T^{ij}=0$. А уж знак плотности материи ей фиолетов.

[SergeyGubanov]

VladTK в сообщении #1231035 писал(а):

Сергей, поздравляю с хорошей статьей. Мне понравилось.

Спасибо!

VladTK в сообщении #1231035 писал(а):

Но есть мое персональное замечание - зачем Вы столько материала вложили в одну статью? Там же на целый цикл хватит.

Да, если бы я существовал за счёт "системы", то мне имело бы смысл максимизировать количество публикаций. Но я "вне системы", поэтому имею другой критерий для оптимизации -- минимизировать расход личного времени на неоплачиваемый вид деятельности.

VladTK в сообщении #1231035 писал(а):

Ну и о знаке в формуле (102) из статьи. Там все правильно? Не должно ли быть

$$ L=\frac{1}{2} m \gamma_{ij} (\dot{x}^i-V^i) (\dot{x}^j+V^j) $$

Со знаком в (102) всё правильно

$$L = \frac{1}{2} m \left( {\bf \dot{r}} - {\bf V} \right)^2$$

VladTK в сообщении #1231035 писал(а):

Цитата:

...6) У большинства найденных решений в той или иной области пространства-времени  может быть отрицательный. В силу  уравнения ОТО это означает отрицательную плотность пыли, что невозможно в силу положительной определённости плотности пыли. Значит большинство найденных решений в той или иной области пространства-времени не принадлежат ОТО...

Почему не принадлежат ОТО, если они являются решениями уравнений ее поля? ОТО не определяет тензора энергии-импульса. Она лишь требует от него симметрии и "сохранения" $D_j T^{ij}=0$. А уж знак плотности материи ей фиолетов.

Если допустить существование пыли с плотностью массы $\rho(t, r)$, которая в некоторых областях пространства-времени положительная, а в некоторых отрицательная, то да, все найденные решения будут принадлежать ОТО. Но мне кажется более правильным чуть-чуть модифицировать уравнения гравитационного поля и оставить плотность массы пыли положительно определённой величиной.