количество соответствий для a^2-b^2

[Soul Friend]

сколько равенств может быть для выражения $a^2-b^2$, $(a-2)>b$, $a$ и $b$ разные по четности числа:

$$a^2-b^2=c^2-d^2=m^2-n^2$$

$$a^2-b^2=c^2-d^2=m^2-n^2=x^2-y^2$$

Понятно, что для некоторого числа $a$ (не для всех) найдется хотя бы одно равенство, Доказано ли, что такое равенство может быть не больше одного, или их нескончаемо много для некоторого числа $a$?
И есть ли формулы (выражения) для выявления таких вот равенств?

[Someone]

Дык, в чём проблема-то? $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, числа $a$ и $b$ разной чётности, $a-b\geqslant 3$ значит, $a^2-b^2$ разлагается на два нечётных множителя $\geqslant 3$. Я правильно догадался, что $a$ и $b$ положительные?

[Soul Friend]

хотел узнать растет ли количество равенств для $a$, если растет само число $a$ ? Что-то до меня не доходит, но не знаю что.
например: $45=9^2-6^2=7^2-2^2$ есть ли числа которые имеют больше равенств?

[Andrey A]

$(a^2-b^2)(c^2-d^2)=(ac+bd)^2-(ad+bc)^2=(ac-bd)^2-(ad-bc)^2$

Поставьте слева нужное количество множителей, и получите нужное количество равенств.

[Someone]

Soul Friend в сообщении #1229430 писал(а):

хотел узнать растет ли количество равенств для $a$, если растет само число $a$ ? Что-то до меня не доходит, но не знаю что.

"Количество равенств" в данном случае зависит не от величины $a$, а от количества разложений $a^2-b^2$ в произведение двух нечётных множителей. Или у Вас фиксировано только $a$? Тогда надо суммировать по всем подходящим $b$. Сумма будет расти (это легко следует из того, что я уже сказал), но как её оценить? Такая задача, как я понимаю, является очень сложной. Во всяком случае, я в этой области не специалист.

[Soul Friend]

то есть это выражение может быть не единственным для нечетных чисел? :

$$a^2-b^2=(a+2)^2-(b+4)^2$$

где $a$ нечетное число вида $4n-1$, $n>2$. ?
Вспомнил, это зависит от количества простых делителей числа. Спасибо всем.

[Someone]

Soul Friend в сообщении #1229437 писал(а):

$$a^2-b^2=(a+2)^2-(b+4)^2$$

Откуда Вы такое "равенство" взяли?

[Soul Friend]

проанализировал составные нечетные и вывел, правка: $n\geqslant2$
есть выражение и для четных чисел, но оно более сложное.

[Someone]

Например, берём $n=7\geqslant 2$, $a=4n-1=27$, $b=8$. Тогда $a^2-b^2=27^2-8^2=729-64=665=5\cdot 7\cdot 19$, $a+2=29$, $b+4=12$, $(a+2)^2-(b+4)^2=29^2-12^2=841-144=697\neq 665$. Равенство не выполняется.

Заметим, кстати, что $27^2-8^2=51^2-44^2=69^2-64^2$. Где тут $a+2$ и $b+4$?

[Soul Friend]

да, забыл написать про $b$, не для всех $b$ есть решение, но для каждого $4n-1$ должно (наверное) существовать одно такое $b$. буду вычислять дальше.

-- 25.06.2017, 15:47 --

Someone в сообщении #1229466 писал(а):

Заметим, кстати, что $27^2-8^2=51^2-44^2=69^2-64^2$. Где тут $a+2$ и $b+4$?

вот это я и хотел выяснить, спасибо

[Someone]

Soul Friend в сообщении #1229471 писал(а):

да, забыл написать про $b$, не для всех $b$ есть решение, но для каждого $4n-1$ должно (наверное) существовать одно такое $b$. буду вычислять дальше.

Вы же в школе алгебру изучали? Вопрос решается в полминуты.

[Soul Friend]

был ударником, но забыл почти все, учу все заново

[Soul Friend]

нашел запись, я оказывается уже высчитывал эту $b$, $b=2(n-1)$. Та $n$ которая $4n-1$.

$$27^2-12^2=29^2-16^2$$

$$(4n-1)^2-(2(n-1))^2=((4n-1)+2)^2-((2(n-1))+4)^2$$

[INGELRII]

Совершенно не вижу причин для настолько оживленного обсуждения. Возьмем в качестве разности квадратов число вида $3^{2 n}$ при некотором натуральном $n$. Оно разлагается $n$ разными способами в произведение двух неравных нечетных сомножителей: $3^{2 n}=3^0 \cdot 3^{2 n}=3^1 \cdot 3^{2 n-1}=...=3^{n-1} \cdot 3^{n+1}$. Далее находим $a$ как полусумму двух множителей, $b$ как их полуразность. Итого получим $n$ пар чисел $a,b$ с одинаковой разностью квадратов.

Поскольку число $n$ мы можем взять каким угодно большим, то и пар будет сколь угодно много. Захотим взять $n=100500$, получим $100500$ таких пар.