по следам пифагоровых троек

[maxal]

Кстати, полное решение Задачи 3 дал в свое время небезызвестный Эрик Белл (тот самый, в честь которого названы числа и полиномы Белла). Если желающих повторить сей ратный труд не найдейтся - вскоре выложу его решение.

Добавлено спустя 29 минут 56 секунд:

Sonic86 писал(а):

Подставляя несколько пифагоровых троек перебором получаются значения: 2, 7, 10, 11, 14, 22.

Ну во-первых, судя по всему, это значения $k$, для которых система

$$\begin{cases} x^2+y^2 = z^2\\ (kx)^2 + y^2 = t^2\end{cases}$$

имеет решение в целых положительных числах $x,y,z,t$ (то есть искомый ответ будет дополнением этой последовательности).
Во-вторых, тут пропущены некоторые значения - вот что у меня получилось в пределах 30:
$7, 10, 11, 12, 14, 17, 19, 22, 23, 27, 28, 29, 30$
Кстати, а откуда взялась 2 в вашем списке?

А вообще задача, похоже, связана с рангом кривой $v^2 = u(u+1)(u+k^2)$, на которую указал Echo-Off.

[maxal]

maxal писал(а):

Задача 5. Для каких целых положительных $k$ система уравнений

$$\begin{cases} x^2+y^2 = z^2\\ (kx)^2 + y^2 = t^2\end{cases}$$

не имеет решений в целых положительных числах $x,y,z,t$.

Эта задача эквивалентна т.н. Leech Problem (см. также A117319) и ответ на нее действительно связан с рангом указанной эллиптической кривой (искомые $k$ соответствуют нулевому рангу).

[Батороев]

maxal писал(а):

... вот что у меня получилось в пределах 30:
$7, 10, 11, 12, 14, 17, 19, 22, 23, 27, 28, 29, 30$

Кто-нибудь мог бы подсказать численные примеры с использованием хотя бы пары чисел $ k $ из ряда $ 10, 12, 14, 17, 19 $.
Дело в том, что нашел способ нахождения решений, но в эту ветвь входят только $ k = 7,11,14, 29 $. И хочется понять, какие ветви решений еще могут существовать.

p.s. Упомянутым способом при помощи Excel'я и калькулятора, например, нашел вот такое решение (вернее, антирешение задачи 5 ):
$ k = 7789399; x=7789241; y = 1230712560; z = 1230737209; t=60673506068641 $.

Добавлено
Извиняюсь, но по указанной выше ссылке maxal'a нашел то, что было нужно.

[maxal]

Самым "трудным" значением $k$ в пределах тысячи оказалось $k=502$ - для него минимальные значения $x$ и $y$ содержат почти 100 десятичных цифр.

[Батороев]

Получил две ветви решений. Не Бог-весть что, но все же... не пропадать же добру.

Если $ x = x_1x_2 $, то $k$ можно искать в виде целочисленных значений выражений:

1) $ k = \sqrt{x_1^2x_2^2 + x^2_1 - x^2_2} $. Задавая $x_2$, можно организовать перебор $x_1$ и наоборот.
При этом $y = \frac{x^2_1 - x^2_2}{2} $
$z = \frac{x^2_1+x^2_2}{2} $
$ t = x^2_1x^2_2 + \frac{x^2_1-x^2_2}{2} $

Если принять $x_2=1$, то
$ k = \sqrt{2x^2-1} $


2) $ k = \sqrt{\frac{x^4_1x^4_2 + 2x^2_1x^2_2 + x^4_1x^2_2 - x^2_1x^4_2 + x^2_1 - x^2_2 +1}{x^2_1x^2_2}} $
При этом $y = \frac{x^2_1 - x^2_2}{2} $
$z = \frac{x^2_1+x^2_2}{2} $
$ t = x^2_1x^2_2 + \frac{x^2_1-x^2_2}{2} + 1 $

Если принять $x_2=1$, то
$ k = \sqrt{2(x^2+1)} $

В этой ветви решений с $x_2\ne 1 $, в общем то, и не нашел.
Наверное, целое число $ \frac{x^2_1-x^2_2+1}{x^2_1x^2_2} $ либо очень редкое, либо вообще невозможное. Добавлено: Тьфу, оно ж меньше единицы. Во, Лопух!

Эти две ветви имеют некую связку, т.е. при $x_2=1$ полученное из первой ветви значение $ k $ можно использовать в виде $x$ при расчете второй ветви.

[maxal]

Задача 6. Опишите возможные значения разности $x-y$ чисел $x, y$, удовлетворяющих диофантову уравнению:

$$\binom{x}{3} - \binom{y}{3} = z^2.$$

Сами решения уравнения тоже можно попробовать описать.

[maxal]

maxal писал(а):

Кстати, полное решение Задачи 3 дал в свое время небезызвестный Эрик Белл (тот самый, в честь которого названы числа и полиномы Белла).

Кстати, из общего решения довольно непросто получить все решения для фикированного s. Поэтому следующее уравнение вполне заслуживает отдельной задачи:

Задача 7. Решить уравнение

$$(x^2 - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 = (z^2 - 1)^2$$

в натуральных числах $x,y,z.$

Некоторые численные решения: $(10,13,14)$ и $(265,287,329)$.

[juna]

maxal в сообщении #122846 писал(а):

Если желающих повторить сей ратный труд не найдейтся - вскоре выложу его решение.

Есть желающие на другой ратный труд - разобраться в его решении.

[maxal]

maxal в сообщении #122846 писал(а):

Кстати, полное решение Задачи 3 дал в свое время небезызвестный Эрик Белл (тот самый, в честь которого названы числа и полиномы Белла).

Вот оно: E.T. Bell "A Pythagorean Variation"

[maxal]

maxal в сообщении #158376 писал(а):

Задача 6. Опишите возможные значения разности $x-y$ чисел $x, y$, удовлетворяющих диофантову уравнению:

$$\binom{x}{3} - \binom{y}{3} = z^2.$$

По поводу этого уравнения есть такая статья:
M.Kuwata, J.Top "An elliptic surface related to sums of consecutive squares". Exposition. Math. 12(2), 1994, p. 181–192.

P.S. Эта же задача по сути обсуждалась у нас в этой теме: topic13593.html

[maxal]

maxal в сообщении #182332 писал(а):

Задача 7. Решить уравнение

$$(x^2 - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 = (z^2 - 1)^2$$

в натуральных числах $x,y,z.$

Некоторые численные решения: $(10,13,14)$ и $(265,287,329)$.

Бесконечная серия рациональных решений этого уравнения дается в статье:
Maciej Ulas. On certain diophantine equations related to triangular and tetrahedral numbers

[maxal]

Задача 8. Решить в натуральных числах:

$$\begin{cases} a^2 + c^2 = x^2\\ b^2 + c^2 = y^2\\ (c-a)^2 + (c-b)^2 = z^2 \end{cases}$$

Геометрическая интерпретация: треугольник с целыми сторонами вписан в квадрат так, что они имеют общую вершину. Вершинами треугольника являются $(0,0)$, $(a,c)$ и $(c,b)$, $c$ - длина cтороны квадрата, а $x, y, z$ - соответственно длины сторон треугольника.
Интересно, что такой треугольник автоматически является героновым, так как его площадь равна $\frac{c^2-ab}2$.

Парочка решений:

$$(a,b,c)=(105, 224, 360),\qquad (x,y,z)=(375, 424, 289)$$

$$(a,b,c)=(720, 799, 960),\qquad (x,y,z)=(1200, 1249, 289)$$

[VAL]

Задача 8 напомнила мне еще одну (см. ММ11):

Решить в натуральных числах:

$$\begin{cases} a^2 + b^2 = x^2\\ b^2 + c^2 = y^2\\ a^2 + b^2 + c^2 = z^2 \end{cases}$$

Вот несколько подходящих троек (a, b, c):
(153, 104, 672), ( 495, 840, 448), (3740, 1680, 819), (13940, 11088, 9555).

Геометрическая интерпетация: Числа a, b, c, x, y, z являются длинами ребер тераэдра, все грани которого - прямоугольные треугольники.