На математической конференции

[daogiauvang]

В одной математической конференции используются 4 языка для общения. Оказалось, что у 2 любых участников всегда имеет один общий язык. Доказать, что существует не менее 60% участников знают один общий язык.

[TOTAL]

Если кто-то знает один или четыре языка, то очевидно.
Предположим, что общего языка меньше $60$%. Тогда более $60$% знаю ровно два языка. Все эти двуязычники (за исключением одного) знают общий язык. Противоречие.

У двуязычных два варианта:

а) Все знают русский язык. Задача решена.
б) Никто не знает японского языка. В этом случае у трёхязычников отбираем дипломы японского языка, после чего на руках у $n$ человек остается по крайней мере $2n$ дипломов трех типов. Задача решена.

[daogiauvang]

TOTAL в сообщении #1228275 писал(а):

Если кто-то знает один или четыре языка, то очевидно.
Предположим, что общего языка меньше $60$%. Тогда более $60$% знаю ровно два языка. Все эти двуязычники (за исключением одного) знают общий язык. Противоречие.

1.Почему четыре языка, то очевидно?
2. Почему общего языка меньше $60$%. Тогда более $60$% знаю ровно два языка?
3. Что если часть двухязычных знают японский?

[TOTAL]

daogiauvang в сообщении #1228660 писал(а):

1.Почему четыре языка, то очевидно?
2. Почему общего языка меньше $60$%. Тогда более $60$% знаю ровно два языка?
3. Что если часть двухязычных знают японский?

1. Если кто-то знает четыре языка, то отложим этого кого-то в сторону и решим задачу для оставшихся.

2. Если общего языка меньше $60$%, то в среднем на человека приходится менее $2.4$ языка, поэтому двуязычников более $60$%.

3. Если нет языка, который знают все двуязычные, то есть язык, который не знает никто из двуязычных. Например, кто-то знает языки $(1,2)$. Оставшиеся знают языки $(1,x)$, либо $(y,2)$. Очевидно, $x=y$.