Усиление неравенства Эрдеша-Морделла

[Rusit8800]

Пусть точка $M$ лежит внутри треугольника $ABC$. Обозначим расстояния от точки $M$ до сторон $BC, CA, AB$ треугольника через $d_a, d_b, d_c$, а расстояния от точки $M$ до вершин $A,B,C$ через $R_a, R_b, R_c$. Тогда имеет место неравенство Эрдёша — Морделла:

$$R_a+R_b+R_c \geqslant 2 (d_a+d_b+d_c)$$

Интересно, а ставил ли кто-нибудь вопрос какое максимальное число $n>2$ можно поставить вместо $2$, чтобы оно оставалось верным для всех точек $M$?

[EUgeneUS]

Rusit8800
Никакое. Там неспроста нестрогое неравенство.
Найдёте пример, когда будет равенство? Он довольно прост.

[Лукомор]

Rusit8800 в сообщении #1227595 писал(а):

Интересно, а ставил ли кто-нибудь вопрос какое максимальное число $n>2$ можно поставить вместо $2$, чтобы оно оставалось верным для всех точек $M$?

Никакое.
Поскольку $n\geqslant2$

[Rusit8800]

EUgeneUS в сообщении #1227597 писал(а):

Найдёте пример, когда будет равенство? Он довольно прост.

Центр правильного треугольника.

EUgeneUS в сообщении #1227597 писал(а):

Никакое. Там неспроста нестрогое неравенство.

И что? Это не критерий точности неравенства.

Лукомор в сообщении #1227598 писал(а):

Поскольку $n\geqslant2$

Почему? Неужели $n$ может быть сколь угодно большим? Может $n \leqslant 2$?
(точка $M$ лежит ВНУТРИ треугольника, а не снаружи)

[Лукомор]

Rusit8800 в сообщении #1227600 писал(а):

Может $n \leqslant 2$?

$n=\frac{R_a+R_b+R_c }{d_a+d_b+d_c}$
Доказано, что $n \geqslant 2$.
Для того, чтобы выполнялось $n \leqslant 2$,
должен существовать треугольник, "более правильный", чем правильный...

-- Ср июн 21, 2017 05:38:23 --

Rusit8800 в сообщении #1227600 писал(а):

Неужели $n$ может быть сколь угодно большим?

Да.
Вы же нашли, что в правильном треугольнике $n=2$.
Теперь возьмите одну из вершин, и начните ее двигать в сторону противолежащей стороны, вдоль высоты/медианы/биссектрисы, так, чтобы треугольник оставался равнобедренным.
$n$ будет расти.
Когда вершина упрется в основание, получится, что
$d_a+d_b+d_c=0$
при
$R_a+R_b+R_c > 0$
В этом случае, подставляйте любое $n$ - не ошибётесь.

[Rusit8800]

Лукомор в сообщении #1227799 писал(а):

Теперь возьмите одну из вершин, и начните ее двигать в сторону противолежащей стороны, вдоль высоты/медианы/биссектрисы, так, чтобы треугольник оставался равнобедренным.
$n$ будет расти.
Когда вершина упрется в основание, получится, что
$d_a+d_b+d_c=0$
при
$R_a+R_b+R_c > 0$
В этом случае, подставляйте любое $n$ - не ошибётесь.

Да, но это только в треугольнике, "близком" к вырожденному. А нужно, чтобы неравенство выполнялось для произвольного треугольника. Для правильного треугольника это уже контрпример.

[Лукомор]

Rusit8800 в сообщении #1227850 писал(а):

Да, но это только в треугольнике, "близком" к вырожденному. А нужно, чтобы неравенство выполнялось для произвольного треугольника. Для правильного треугольника это уже контрпример.

Для правильного треугольника это - равенство.
Для произвольного треугольника - выполняется неравенство.
В чём вопрос?!

[Rusit8800]

Лукомор в сообщении #1227938 писал(а):

ля произвольного треугольника - выполняется неравенство.

Подождите. Это же не произвольный треугольник, а "близкий к вырожденному". Для правильного треугольника, например, такие трюки не пройдут: для него $n=2$.

[Лукомор]

Rusit8800 в сообщении #1228709 писал(а):

Для правильного треугольника, например, такие трюки не пройдут: для него $n=2$.

Не обязательно!
Вот я, допустим, в правильном треугольнике c длиной стороны, равной $a$, сдвину точку $M$ из центра треугольника в одну из вершин, например, в вершину $A$.
Тогда

$n=\frac{0+a+a}{0+0+\frac{a\sqrt{3}}{2}}\approx 2.3\dots >2$.

-- Пт июн 23, 2017 14:55:01 --

Rusit8800 в сообщении #1228709 писал(а):

Подождите. Это же не произвольный треугольник, а "близкий к вырожденному".

Нет.
Неравенство выполняется для любой точки внутри любого треугольника, как близкого к вырожденному, так и близкого к правильному...

[Rusit8800]

Тогда я не понимаю, зачем нужно неравенство Эрдеша-Морделла, если $n$ можно сделать любым?

[Лукомор]

Rusit8800 в сообщении #1228889 писал(а):

Тогда я не понимаю, зачем нужно неравенство Эрдеша-Морделла, если $n$ можно сделать любым?

Нельзя!
Смысл данного неравенства в том, что $n$ нельзя сделать меньше двух, как бы Вы не старались...