2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Усиление неравенства Эрдеша-Морделла
Сообщение20.06.2017, 19:09 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Пусть точка $M$ лежит внутри треугольника $ABC$. Обозначим расстояния от точки $M$ до сторон $BC, CA, AB$ треугольника через $d_a, d_b, d_c$, а расстояния от точки $M$ до вершин $A,B,C$ через $R_a, R_b, R_c$. Тогда имеет место неравенство Эрдёша — Морделла:
$$R_a+R_b+R_c \geqslant 2 (d_a+d_b+d_c)$$
Интересно, а ставил ли кто-нибудь вопрос какое максимальное число $n>2$ можно поставить вместо $2$, чтобы оно оставалось верным для всех точек $M$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление неравенства Эрдеша-Морделла
Сообщение20.06.2017, 19:12 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Rusit8800
Никакое. Там неспроста нестрогое неравенство.
Найдёте пример, когда будет равенство? Он довольно прост.

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление неравенства Эрдеша-Морделла
Сообщение20.06.2017, 19:13 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
Rusit8800 в сообщении #1227595 писал(а):
Интересно, а ставил ли кто-нибудь вопрос какое максимальное число $n>2$ можно поставить вместо $2$, чтобы оно оставалось верным для всех точек $M$?

Никакое.
Поскольку $n\geqslant2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление неравенства Эрдеша-Морделла
Сообщение20.06.2017, 19:20 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
EUgeneUS в сообщении #1227597 писал(а):
Найдёте пример, когда будет равенство? Он довольно прост.

Центр правильного треугольника.
EUgeneUS в сообщении #1227597 писал(а):
Никакое. Там неспроста нестрогое неравенство.

И что? Это не критерий точности неравенства.
Лукомор в сообщении #1227598 писал(а):
Поскольку $n\geqslant2$

Почему? Неужели $n$ может быть сколь угодно большим? Может $n \leqslant 2$?
(точка $M$ лежит ВНУТРИ треугольника, а не снаружи)

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление неравенства Эрдеша-Морделла
Сообщение21.06.2017, 06:26 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
Rusit8800 в сообщении #1227600 писал(а):
Может $n \leqslant 2$?

$n=\frac{R_a+R_b+R_c }{d_a+d_b+d_c}$
Доказано, что $n \geqslant 2$.
Для того, чтобы выполнялось $n \leqslant 2$,
должен существовать треугольник, "более правильный", чем правильный... :D

-- Ср июн 21, 2017 05:38:23 --

Rusit8800 в сообщении #1227600 писал(а):
Неужели $n$ может быть сколь угодно большим?

Да.
Вы же нашли, что в правильном треугольнике $n=2$.
Теперь возьмите одну из вершин, и начните ее двигать в сторону противолежащей стороны, вдоль высоты/медианы/биссектрисы, так, чтобы треугольник оставался равнобедренным.
$n$ будет расти.
Когда вершина упрется в основание, получится, что
$d_a+d_b+d_c=0$
при
$R_a+R_b+R_c > 0$
В этом случае, подставляйте любое $n$ - не ошибётесь. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление неравенства Эрдеша-Морделла
Сообщение21.06.2017, 11:17 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Лукомор в сообщении #1227799 писал(а):
Теперь возьмите одну из вершин, и начните ее двигать в сторону противолежащей стороны, вдоль высоты/медианы/биссектрисы, так, чтобы треугольник оставался равнобедренным.
$n$ будет расти.
Когда вершина упрется в основание, получится, что
$d_a+d_b+d_c=0$
при
$R_a+R_b+R_c > 0$
В этом случае, подставляйте любое $n$ - не ошибётесь.

Да, но это только в треугольнике, "близком" к вырожденному. А нужно, чтобы неравенство выполнялось для произвольного треугольника. Для правильного треугольника это уже контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление неравенства Эрдеша-Морделла
Сообщение21.06.2017, 15:22 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
Rusit8800 в сообщении #1227850 писал(а):
Да, но это только в треугольнике, "близком" к вырожденному. А нужно, чтобы неравенство выполнялось для произвольного треугольника. Для правильного треугольника это уже контрпример.

Для правильного треугольника это - равенство.
Для произвольного треугольника - выполняется неравенство.
В чём вопрос?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление неравенства Эрдеша-Морделла
Сообщение23.06.2017, 10:34 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Лукомор в сообщении #1227938 писал(а):
ля произвольного треугольника - выполняется неравенство.

Подождите. Это же не произвольный треугольник, а "близкий к вырожденному". Для правильного треугольника, например, такие трюки не пройдут: для него $n=2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление неравенства Эрдеша-Морделла
Сообщение23.06.2017, 15:50 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
Rusit8800 в сообщении #1228709 писал(а):
Для правильного треугольника, например, такие трюки не пройдут: для него $n=2$.

Не обязательно!
Вот я, допустим, в правильном треугольнике c длиной стороны, равной $a$, сдвину точку $M$ из центра треугольника в одну из вершин, например, в вершину $A$.
Тогда

$n=\frac{0+a+a}{0+0+\frac{a\sqrt{3}}{2}}\approx 2.3\dots >2$.

-- Пт июн 23, 2017 14:55:01 --

Rusit8800 в сообщении #1228709 писал(а):
Подождите. Это же не произвольный треугольник, а "близкий к вырожденному".

Нет.
Неравенство выполняется для любой точки внутри любого треугольника, как близкого к вырожденному, так и близкого к правильному...

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление неравенства Эрдеша-Морделла
Сообщение23.06.2017, 17:05 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Тогда я не понимаю, зачем нужно неравенство Эрдеша-Морделла, если $n$ можно сделать любым?

 Профиль  
                  
 
 Re: Усиление неравенства Эрдеша-Морделла
Сообщение23.06.2017, 18:37 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
Rusit8800 в сообщении #1228889 писал(а):
Тогда я не понимаю, зачем нужно неравенство Эрдеша-Морделла, если $n$ можно сделать любым?

Нельзя!
Смысл данного неравенства в том, что $n$ нельзя сделать меньше двух, как бы Вы не старались...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: vicvolf


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group