Ответ "15 различных квантов энергии" мог бы получиться вот в какой задачке: 1-й уровень, т. е. самый нижний на шкале энергии - одиночный, 2-й уровень пусть состоит из трёх подуровней, немножко различающихся по энергии, и 3-й уровень пусть тоже состоит из трёх подуровней. Тогда имеем:

- количество разностей энергии при переходах с каждого подуровня 3-го уровня на каждый подуровень 2-го уровня.

- количество разностей энергии при переходах с каждого подуровня 3-го уровня на 1-й уровень.

- количество разностей энергии при переходах с каждого подуровня 2-го уровня на 1-й уровень.
Итого:

Однако, для атомов бериллия схема атомных уровней энергии (термов), имхо, другая:
В конфигурации

суммарный орбитальный момент электронов есть

а суммарный спин может принимать два значения

Значит, возможны только
два терма:

и

(Для терма

возможные значения полного момента импульса есть

так что при учёте спин-орбитального взаимодействия он расщепится на три "подуровня тонкой структуры" с разными значениями

А терму

отвечает одно значение полного момента:

Итого с учётом тонкой структуры получается четыре подуровня для

т. е. опять не три.)
В конфигурации

может быть

и

Т. е.
три терма:

где

Так что, если я не ошибся в подсчёте термов, с учётом тонкой структуры получается больше

разностей энергии; а без учёта - меньше:

Ну, и действительно, подобная задача (про атом, более сложный, чем одноэлектронный атом водорода) выходит за рамки школьных заданий.
-- 20.06.2017, 17:49 --P.S.
Ой, вот что я прозевал: а ведь можно ещё посчитать разности энергии между подуровнями (термами) в одном уровне (так что, первое моё утверждение, насчёт

в случае трёхкратно расщеплённых уровней, - неверное)
Тогда без учёта тонкой структуры для бериллия получается вот как: к указанным выше

добавляются

разности энергии между тремя термами 3-го уровня и

разность энергии между двумя термами 2-го уровня. Итого:
