диф. уравнения ("подлая", "хорошая", "поучительная" задача)

[lenny]

помогите пожалуйста решить
$xy'+(x+1)y=3x^2$
$tdz=\left(\frac {2z} {lnt} +1 \right)dt$
$y'x^3\sin y=xy'-2y$ , $y(1)=0$

[Someone]

Два первых уравнения - линейные дифференциальные уравнения первого порядка, и решаются стандартным способом.
Третье уравнение превратится в уравнение Бернулли, если за новую независимую переменную взять $y$, а за новую неизвестную функцию - $x$. Уравнение Бернулли решается почти так же, как линейное уравнение.
Попробуйте решить, и если возникнут проблемы, напишите здесь подробно, в чём они состоят. Что-нибудь подскажем.

[Vikulyarus]

Третье уравнение-задача Коши

[Someone]

Vikulyarus писал(а):

Третье уравнение-задача Коши

Да, только сейчас обратил внимание, что там есть тривиальное решение. Но тогда нужно обосновать, почему других нет (или найти их).

[ewert]

Someone писал(а):

Vikulyarus писал(а):

Третье уравнение-задача Коши

Да, только сейчас обратил внимание, что там есть тривиальное решение. Но тогда нужно обосновать, почему других нет (или найти их).

Не нужно ничего обосновывать. Точка $(x=0,\;y=1)$ не является особой для правой части исходного уравнения. Поэтому в окрестности этой точки решение задачи Коши существует и единственно.

А вообще задачка -- подлая. Тривиальное решение не является частным случаем общей формулы.

[Someone]

ewert писал(а):

Не нужно ничего обосновывать. Точка $(x=0,\;y=1)$ не является особой для правой части исходного уравнения. Поэтому в окрестности этой точки решение задачи Коши существует и единственно.

Ну так это и есть обоснование. Студент должен явно выписать правую часть уравнения и проверить, что она удовлетворяет условим соответствующей теоремы.

[ewert]

но она всё равно подлая

[Someone]

Да, студент, скорее всего, начнёт искать общее решение. И имеет хороший шанс нужное частное решение вообще не получить. Но преподаватель, объясняя такой метод решения, должен обращать внимание на решения, которые могут теряться.

[Brukvalub]

Наоборот, очень хорошая и поучительная задача! Старательный студент сразу из лекций узнает о существовании особых решений, для него задача не составит труда.
А бездельник попытается решить ее "по-легкому", не найдет в общем решении нужного случая, вынужден будет полезть глубже и получит хороший урок.
Просто замечательная задача!

[Someone]

Ох, Brukvalub, мне бы Ваши заботы...