2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 диф. уравнения ("подлая", "хорошая", "поучительная" задача)
Сообщение24.05.2008, 18:02 
помогите пожалуйста решить
$xy'+(x+1)y=3x^2$
$tdz=\left(\frac {2z} {lnt} +1 \right)dt$
$y'x^3\sin y=xy'-2y$ , $y(1)=0$

 
 
 
 
Сообщение24.05.2008, 21:10 
Аватара пользователя
Два первых уравнения - линейные дифференциальные уравнения первого порядка, и решаются стандартным способом.
Третье уравнение превратится в уравнение Бернулли, если за новую независимую переменную взять $y$, а за новую неизвестную функцию - $x$. Уравнение Бернулли решается почти так же, как линейное уравнение.
Попробуйте решить, и если возникнут проблемы, напишите здесь подробно, в чём они состоят. Что-нибудь подскажем.

 
 
 
 
Сообщение24.05.2008, 21:58 
Третье уравнение-задача Коши

 
 
 
 
Сообщение24.05.2008, 22:50 
Аватара пользователя
Vikulyarus писал(а):
Третье уравнение-задача Коши


Да, только сейчас обратил внимание, что там есть тривиальное решение. Но тогда нужно обосновать, почему других нет (или найти их).

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 10:45 
Someone писал(а):
Vikulyarus писал(а):
Третье уравнение-задача Коши


Да, только сейчас обратил внимание, что там есть тривиальное решение. Но тогда нужно обосновать, почему других нет (или найти их).

Не нужно ничего обосновывать. Точка $(x=0,\;y=1)$ не является особой для правой части исходного уравнения. Поэтому в окрестности этой точки решение задачи Коши существует и единственно.

А вообще задачка -- подлая. Тривиальное решение не является частным случаем общей формулы.

 
 
 
 
Сообщение26.05.2008, 21:52 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Не нужно ничего обосновывать. Точка $(x=0,\;y=1)$ не является особой для правой части исходного уравнения. Поэтому в окрестности этой точки решение задачи Коши существует и единственно.


Ну так это и есть обоснование. Студент должен явно выписать правую часть уравнения и проверить, что она удовлетворяет условим соответствующей теоремы.

 
 
 
 
Сообщение26.05.2008, 22:04 
но она всё равно подлая

 
 
 
 
Сообщение26.05.2008, 22:14 
Аватара пользователя
Да, студент, скорее всего, начнёт искать общее решение. И имеет хороший шанс нужное частное решение вообще не получить. Но преподаватель, объясняя такой метод решения, должен обращать внимание на решения, которые могут теряться.

 
 
 
 
Сообщение26.05.2008, 22:18 
Аватара пользователя
Наоборот, очень хорошая и поучительная задача! Старательный студент сразу из лекций узнает о существовании особых решений, для него задача не составит труда.
А бездельник попытается решить ее "по-легкому", не найдет в общем решении нужного случая, вынужден будет полезть глубже и получит хороший урок.
Просто замечательная задача!

 
 
 
 
Сообщение28.05.2008, 23:09 
Аватара пользователя
Ох, Brukvalub, мне бы Ваши заботы...

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group