Система уравнений

[svv]

Да. Это кубическое уравнение. Решать его не очень приятно (формула Кардано страшна).
К счастью, один его корень $p$ мы уже знаем. Чему он равен?

[capt]

svv
$p_1 = 1$

[svv]

А это, в свою очередь, значит, что многочлен $p^3+7p^2+4p-12$ делится на многочлен $p-1$ без остатка. Умеете делить многочлены? Что получится?

-- Пт июн 16, 2017 16:35:21 --

Да. Значит, либо $p-1=0$, либо справедливо квадратное уравнение, которое имеет корни ...

-- Пт июн 16, 2017 16:38:03 --

Зря стёрли, всё правильно!

[capt]

svv
$p_2 = -2$ и $p_3 = -6$. Я случайно.

[svv]

Отлично!
Попробуйте придумать, как решить нашу систему, уже зная $p=\frac y x$. Может быть, подставить в первое уравнение $y=px$, или как-то иначе.

[capt]

svv
Я нашел еще один: $x = \frac{5}{33}$, но вот какое значение $y$ ему соответствует? Куда подставить?

[svv]

Пожалуйста, запомните, что в нашей системе корнями называются только пары $(x, y)$, то есть $x$ по отдельности — не корень.
Итак, $x=\frac 5{33}$. При каком значении $p$ Вы его получили?

[capt]

svv
При значении $p = -6$.Я только не пойму куда его дольше подставлять.

-- 16.06.2017, 18:03 --

svv
В общем я решил подставить этот корень в первое уравнение и получить квадратное уравнение, решив которое, я получил два корня:
$y_1 = -\frac{1}{11}$ и $y_2 = -\frac{10}{11}$. Они оба подходят или какой-то из них посторонний?

[svv]

capt в сообщении #1226210 писал(а):

При значении $p = -6$.Я только не пойму куда его дольше подставлять.

Дык, в $y=px$

[capt]

svv
Точно, тогда $y = -\frac{10}{11}$. Сейчас попробую $p$ во второе уравнение подставить, может быть еще корни найдутся

-- 16.06.2017, 18:16 --

svv
Никаких новый корней нету, что дальше?

[svv]

Так как Вы уже всё сделали, я для ясности подведу итоги. Итак, мы имеем $p_1=1, p_2=-2, p_3=-6$.
При подстановке $y=px$ в первое уравнение мы получаем
$x^2(3-p^2)=x(1+p)$,
откуда с учётом $x\neq 0$ следует выражение $x$ через $p$:
$x=\frac{1+p}{3-p^2}$
Таким образом, для каждого $p_i$ мы получаем ровно одно $x_i=\frac{1+p_i}{3-(p_i)^2}$, а затем ровно одно $y_i=p_i x_i$.

Запишите три пары $(x_i, y_i),\; i=1,2,3$, которые получаются из, соответственно, $p_1, p_2$ и $p_3$.

[capt]

svv
Точно, еще решение $(1;-2)$. Все, это все корни. И как теперь понять, что больше корней вообще нету, что не нужно правые и левые части перемножать, убирать числа и т.п.?

[svv]

Ну, Вы явно не все $p$ перепробовали... Или я что-то пропустил, или забыл. Каждое $p$ из трёх даёт пару.

[capt]

svv
Если подставить $p = 1$, то получается $(1;1)$, а эти корни ужи известны, поэтому я не стал их писать.
В итоге:
$(0;0)$
$(1;1)$
$(\frac{5}{33};-\frac{10}{11})$
$(1;-2)$

-- 16.06.2017, 18:38 --

svv
А все таки

capt в сообщении #1226228 писал(а):

И как теперь понять, что больше корней вообще нету, что не нужно правые и левые части перемножать, убирать числа и т.п.?

[svv]

Понятно. Итак, собираем всё вместе.
$(x_0, y_0)=(0, 0)$
$p_1=1$ даёт $(x_1, y_1)=(1,1)$
$p_2=-2$ даёт $(x_2, y_2)=(1, -2)$
$p_3=-6$ даёт $(x_3, y_3)=(\frac 5{33}, -\frac {10}{11})$

capt в сообщении #1226228 писал(а):

И как теперь понять, что больше корней вообще нету, что не нужно правые и левые части перемножать, убирать числа и т.п.?

Логика такая. Допустив, что $x\neq 0$, мы для $p=\frac y x$ получили кубическое уравнение, которое имеет только три корня. При каждом значении $p$ из первого уравнения получается единственное значение $x$ (если только $3-p^2\neq 0$). Если при данном $p$ значение $x$ будет не $\frac{1+p}{3-p^2}$, а какое-то другое, это будет означать, что не удовлетворяется первое уравнение системы, из которого мы получили это выражение. Дальше $y=px$. То есть всё жёстко.

Можно подстановкой проверить, что все найденные пары $(x_i, y_i)$ действительно являются корнями системы (вдруг по какой-то причине какие-то пары отсеются?), но новых корней быть не может.