Вопросы по устойчивости для системы ДУ

[Schoti]

Наш разговор становится содержательным, обсуждаемым. Спасибо.

DeBill в сообщении #1225914 писал(а):

Фишка в том, что автор статьи (не указав это изначально!), использует отсутствие (некоторых) резонансов: "Мы также предполагаем ....", стр.3, строка 7).

Кажется, вы правильно указали на границы применимости этого метода. Но для новой системы возможен частный случай $y'=-Ay+e^{-At} f\left(t,e^{At} y\right)=-Ay+f_{1} (y)$, где в правой части, начиная со второй степени, находится произвольный ряд по $y$. Как его получить, рассказано в предыдущем сообщении. Эта система автономна, поэтому в указанном вами условии: «Мы так же предполагаем, что $\left(q_{1} -q_{2} \right)w+p\ne 0$. Для иррационального $w$ это условие выполняется как только $q_{1} \ne q_{2} $, в исследуемом сейчас случае $\left|Q\right|=3$ это неравенство всегда справедливо», параметр $p$ всегда равен нулю. То есть метод применим в этом конкретном случае для особенностей любого порядка, если можно так выразиться.

DeBill в сообщении #1225914 писал(а):

Описание простейшего метода разрешения особенностей есть в книжке Арнольда (Доп.главы..., г.1, п.2). Исследование особых точек с линейной частью типа "центр" - там же, г.6, п.33.

В отношении этого метода у меня есть подозрение, что для первого шага он ещё может сработать, а дальше не обязательно. Прошу прощения, но точнее сказать не могу, потому что давно читал шестую главу. То же, возможно, относится и к его модификации в книге Хазина Л.Г., Шноля Э.Э. «Устойчивость критических положений равновесия (1985)». Более того, у меня вызывает сомнение даже КАМ теория. Уже закрыл голову руками.

Мне очень нравится красивый результат Белицкого Г. Р. «Нормальные формы, инварианты и локальные отображения», Наукова думка, Киев, 1979, 176 с. В двумерном случае он позволяет свести систему для $y$, указанную выше, до одномерного уравнения $u'=uF\left(u\right)$, где $u\mathop{=}\limits^{{\rm df}} y_{1}^{2} +y_{2}^{2} =r^{2} $ и $F\left(0\right)=0$. Сходимость ряда функции $F\left(u\right)$ я не проверял. Кратко с ним можно ознакомиться в книге Ilyashenko Y., Yakovenko S. «Lectures on analytic differential equations» на странице 46. Это максимально возможное упрощение системы с помощью преобразований Пуанкаре. Но этот результат даже теоретически очень сложен, тем более создание вычислительного алгоритма на его основе. Однако книгу Белицкого Г. Р. я не читал, может быть, этот интереснейший математик его придумал.

[DeBill]

Schoti в сообщении #1226197 писал(а):

То есть метод применим в этом конкретном случае для особенностей любого порядка, если можно так выразиться.

Да. Но давайте посмотрим, что же будет происходить. Автор строит функцию Ляпунова. Для этого он нормализует (приводит к нормальной форме) систему в младших членах, и пытается (при необнулении $h$) построить ф.Л.. Если $h$ занулилась, он проводит нормализацию в следующих членах, и т.д.. Что это будет означать для автономной системы? Да в точности ее нормализацию по Пуанкаре-Дюлаку, что и продемонстрировано у Арнольда: для линейной части типа "центр", как только возникает ненулевой резонансный моном, так сразу и решается вопрос об устойчивости особой точки... Так что, по сравнению с традиционным методом, никакой выгоды/разницы.

-- 16.06.2017, 21:38 --

Schoti в сообщении #1226197 писал(а):

В отношении этого метода у меня есть подозрение, что для первого шага он ещё может сработать, а дальше не обязательно.

Нет: доказано, что для аналитического векторного поля, на некотором шаге, все полученные особые точки будут элементарными (и это позволит нарисовать для каждой из них фазовый портрет). Беда, однако, в том, что есть исключтельные ситуации (монодромные особые точки), в которых даже знание локального поведения системы в окрестностях каждой их возникших в процессе раздутия особых точек, не позволяет (сразу) сделать вывод об устойчивости исходной (неэлементарной): надо исследовать хар. показатель ее преобразования монодромии.

-- 16.06.2017, 21:49 --

Schoti в сообщении #1226197 писал(а):

у меня вызывает сомнение даже КАМ теория.

Schoti в сообщении #1226197 писал(а):

нравится красивый результат Белицкого Г. Р.

Да, хорошая работа. Но, насколько я помню, главное достижение Белицкого состояло в построении "красивых" нормальных форм для нильпотентной жордановой клетки (в частности, нормальная форма Такенса-Богданова есть совсем частный случай н.ф. Белицкого). И: раздутие (сигма-процесс - трехшаговый, для типичной особенности) - здесь все еще работает.

Schoti в сообщении #1226197 писал(а):

позволяет свести систему для $y$, указанную выше, до одномерного уравнения

Эта система называется фактор-системой. Построение фактор-системы (приводящее к понижению размерности на единичку) и есть основной профит от теории нормальных форм. Так, в случае периодической системы, приведение ее к резонансной нормальной форме позволяет (ВАШЕЙ ЗАМЕНОЙ!) привести систему к автономному виду...

(Оффтоп)

Т.е., традиционный путь исследования обратен Вашему. Конечно, иногда замена чего-то простого сложным дает таки выгоды. Но здесь я их пока не вижу...

-- 16.06.2017, 22:09 --

Schoti в сообщении #1226197 писал(а):

Сходимость ряда функции $F\left(u\right)$ я не проверял.

А я проверял ... Нет ее, вообще говоря. Это указал еще Брюно. С тех пор вопрос был полностью исследован...
Однако, для исследования устойчивости, сходимость этого ряда несущественна: вопрос решается по первому ненулевому члену (а буде таковых нет, то будет центр!)

Schoti в сообщении #1226197 писал(а):

книге Ilyashenko Y., Yakovenko S.

Да, замечательная книга. У меня бумажных книг не шибко много, но эта КНИГА (на сайте авторов она фигурирует как The Book) есть аж в трех экземплярах: распечатанная на принтере, англейская версия, и русская - зато с дарственной)
Однако, при чтении спецкурсов по Динамическим системам и Теории нормальных форм, я таки рекомендую студентам в первую очередь Арнольда (и лишь самым продвинутым - IYa)

Schoti в сообщении #1226197 писал(а):

создание вычислительного алгоритма на его основе.

Для особой точки типа "центр", вычислительный алгоритм не шибко сложен. Проблемы возникают, когда особая точка неэлементарная. Однако, даже в этом случае, насколько я знаю, проблема уже исследована достаточно глубоко. Вроде, даже в случае, когда ломаная Ньютона состоит из двух ребер, дело доведено до алгоритмов....

[DeBill]

Schoti в сообщении #1226197 писал(а):

создание вычислительного алгоритма на его основе.

Вот только что написал рецензию на статью, в которой разработан алгоритм (в Maple) вычисления коэффициентов преобразования монодромии монодромной особой точки, ломаная Ньютона которой состоит из одного ребра. (За устойчивость отвечает первый нетривиальный к-т... ). Так что алгоритмы - в более-менее простых случаях - есть.

[Schoti]

Я не специализируюсь в ОДУ, поэтому знаком с этой интереснейшей, фундаментальной областью лишь поверхностно, и оставляю за собой право задавать глупые (для специалиста) вопросы и делать такие же ошибки. Вопрос о применимости метода Арнольда В. И. в книге «Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений» (1978) на стр. 169 для исследования устойчивости снимаю, для его понимания (на последующих шагах, после первого) нужно было ещё немного подумать о сохранении сопряжённости двух уравнений в системе. Вопрос к КАМ теории тоже, я перепутал эту теорию с доказательством теоремы Зигеля, параграф 28 той же книги, я застрял там на второй лемме, кажется(?). Именно поэтому я заинтересовался книгой Ilyashenko Y., Yakovenko S. «Lectures on analytic differential equations», потому что в ней доказательство сходимости рядов Пуанкаре-Дюлака проводится согласно рассуждениям Пуанкаре (нерезонансный случай) и Ляпунова-Дюлака (резонансный случай, модификация метода Пуанкаре), а не с помощью теоремы Зигеля как у Арнольда В. И., если не ошибаюсь.

DeBill в сообщении #1226294 писал(а):

Так что, по сравнению с традиционным методом, никакой выгоды/разницы.

Я сформулировал наиболее простой частный случай, чтобы ответить на ваш конкретный вопрос о резонансах. Но как я уже говорил, можно усложнить систему $\frac{dx}{dt} =f(t,x)$, $f(t,0)=0$, $\frac{\partial f(t,0)}{\partial x} =0$, придав ей чётную размерность и сделав правую часть почти периодической по $t$ или, что почти то же самое, только проще, условно-периодической - та же книга Арнольда В. И., стр. 183. Сделаем в ней замену $x=e^{At} y$, где для $2n$-мерного случая $A=\left(\begin{array}{ccccc} {0} & {w_{1} } & {0} & {\ldots } & {0} \\ {-w_{1} } & {0} & {} & {\ddots } & {\vdots } \\ {0} & {} & {\ddots } & {} & {0} \\ {\vdots } & {\ddots } & {} & {0} & {w_{n} } \\ {0} & {\ldots } & {0} & {-w_{n} } & {0} \end{array}\right)$, числа $w_{j} \ne 0$, $j=\overline{1,n}$ можно взять любыми, то есть матрица $e^{At} $ почти периодическая, и снова получаем уравнение $y'=-Ay+e^{-At} f\left(t,e^{At} y\right)$. Далее можно применить метод из указанной ранее статьи.

Чтобы показать применимость метода из статьи, можно рассмотреть более сложный частный случай, когда $f(t,x)=e^{At} f_{1} \left(t,e^{-At} x\right)$, где функция $f_{1} (t,u)$ почти периодическая по $t$ и обладает теми же свойствами: $f_{1} (t,0)=0$, $\frac{\partial f_{1} (t,0)}{\partial u} =0$. Тогда для $y$ получаем систему $y'=-Ay+e^{-At} f\left(t,e^{At} y\right)=-Ay+f_{1} (t,y)$, у которой в правой части, начиная со второй степени, находится произвольный ряд по $y$ с почти периодическими коэффициентами. Далее можно применить метод из статьи. Чтобы при этом не возникало вопросов о возможности его «поломки» из-за резонансов, можно предположить в двумерном случае периодичность по $t$ с периодом $2\pi $ функции $f_{1} (t,y)$ и иррациональность единственного $w$.

В целом метод академика Арнольда для двумерного случая и периодических коэффициентов (стр. 180 из цитируемой книги), возможно, будет работать лучше, потому что его резонансы уже сами по себе дают ответ на вопрос об устойчивости системы. Иными словами, у него нет условия нерезонансности на определённом этапе построения функции Ляпунова как в статье.

Ваши ссылки на книгу Арнольда В. И. «Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений» (1978) относились, если не ошибаюсь, к рассмотренным там вопросам устойчивости двумерных систем с постоянными (стр. 169) и периодическими (стр. 180) коэффициентами. Я подчёркиваю, что упрощение системы с помощью преобразований Пуанкаре-Дюлака и исследование её устойчивости для размерности больше двух это, как мне кажется, не одно и то же, а вопросы устойчивости академик Арнольд рассматривал только в двумерном случае. Самый последний результат в цитируемой книге академика Арнольда, относящийся к нормальным формам систем ДУ, это случай условно-периодических коэффициентов на стр. 183, там не говорится об устойчивости, а дана ссылка на результат Э. Г. Белаги, посвящённый линеаризации такой системы, как я понимаю, тоже при определённых условиях. Скажите, пожалуйста, сделаны ли обобщения названных методов на произвольную чётную размерность и случай условно-периодических коэффициентов? Обобщение на двумерный случай с условно-периодическими коэффициентами кажется даже мне возможным и не очень сложным.

[DeBill]

Schoti в сообщении #1226668 писал(а):

ссылки на книгу Арнольда относились,, к рассмотренным там вопросам устойчивости двумерных систем

О да. Также и все мои рассуждения.
О многомерных системах: тут я ориентируюсь довольно слабо, так что

Schoti в сообщении #1226668 писал(а):

сделаны ли обобщения названных методов на произвольную чётную размерность и случай условно-периодических коэффициентов?

- не знаю. Вроде бы, при отсутствии перекрестных резонансов (т.е., между частотами), все также делается.
Критерии устойчивости в размерности 4 (две пары чисто мнимых собственных значений, автономный случай) есть в "зеленой энциклопедии" (стр.64-70).

Schoti в сообщении #1226668 писал(а):

можно рассмотреть более сложный частный случай,

В этом случае, видимо, метода будет работать. Но тут можно и по Арнольду: В размерности 2, формальная нормальная форма есть на стр. 180: по первому ее к-ту и определим устойчивость. Для условно-периодических: полезно посмотреть г.4 - про усреднение.

[Schoti]

Кажется, в статье в многомерном случае условия требуют отсутствия перекрёстных резонансов.