Неравенства Белла

[В.О.]

Это совершенно элементарная вещь, доступная третьекурснику. Но в физике применяется для серьезных вещей по экспериментальному доказательству не применимости теории вероятностей в квантовой механике Неравенства Белла
Рассмотрим неравенства с математической точки зрения. Пусть результате некоторого эксперимента измеряются три случайных двухзначных (т.е. принимающих только два значения $1$ или $-1$) величины $ u(\omega),v(\omega),w(\omega) = ±1$ Здесь $\omega \in \Omega$, $\Omega$ - вероятностное пространство с вероятностной мерой $ \mu$.
Ковариациями случайных величин будем называть числа
$ x = \int\limits_{\Omega} u(\omega)v(\omega) d\mu(\omega) $, $y = \int\limits_{\Omega} u(\omega)w(\omega) d\mu(\omega) $, $z = \int\limits_{\Omega} v(\omega)w(\omega) d\mu(\omega) $.
При этом числа $ x $, $ y $, $ z$ не могут быть произвольными и должны удовлетворять т.н. неравенствам Белла:
$ \left| x - y \right| \leqslant 1-z $,
$\left| x - z \right| \leqslant 1-y $,
$\left| y - z \right| \leqslant 1-x $.
Реально в физике могут применяться несколько другие, но очень близкие и такие же элементарные неравенства.
Вот доказательство самого Белла. Область интегрирования $\Omega$ и переменную интегрирования $\omega$ в дальнейшем для краткости писать не будем.
$ \left| x - y \right| = \left| \int (uv - uw)d\mu\right| = \left| \int uv(1 - vw)d\mu\right| \leqslant \int \left| 1 - vw\right| d\mu =1 - z$.
Очевидно, что три неравенства Белла эквивалентны следующим трем неравенствам, которые назовем неравенствами В.
$1 + x - y - z \geqslant 0$,
$ 1 - x - y + z \geqslant 0$,
$ 1 - x + y - z \geqslant 0$.
Если измеренные в эксперименте ковариации $x$, $y$, $z$ не удовлетворяют этим неравенствам, то считается, что теория вероятностей не выполняется, что в квантовой механике и имеет место. Т.е. неравенства В являются необходимым условием для того, чтобы числа $-1\leqslant x$, $y$, $z\leqslant1$ были ковариациями некоторых трех случайных двухзначных величин $u$, $v$, $w = ±1$. Этого физикам, вроде бы, хватает для счастья. Но математик сразу же должен спросить строгим голосом, а не являются ли неравенства В и достаточным условием? Ответ очевиден – нет. Ковариации $x = -1$, $y = -1$, $z = -1$ удовлетворяют неравенствам В, но три с.в. с такими ковариациями не существуют. Но, может быть, можно к неравенствам В добавить еще какое-нибудь условие, так, чтобы все это стало необходимым и достаточным? В настоящее время, судя по всему, такого условия не известно. Именно такое условие я и хочу предложить к обсуждению.
Теорема.
Необходимым и достаточным условием существования трех двухзначных с.в. $u$, $v$, $w = ±1$ с ковариациями $-1\leqslant x$, $y$, $z\leqslant1$ является выполнение следующих четырех неравенств.
$1 + x + y + z \geqslant 0$,
$1 + x - y - z \geqslant 0$,
$ 1 - x - y + z \geqslant 0$,
$ 1 - x + y - z \geqslant 0$.
Первое неравенство, судя по всему, является новым. Остальные три являются неравенствами Белла.
Доказательство я приведу, если хоть одна душа выразит желание его увидеть. Оно совершенно элементарно и доступно третьекурснику.
Тут возникают аналогичные вопросы. Пусть $u$, $v$, $w$ три вектора в $\mathbb{R}^3$. Найти соотношения между косинусами углов между ними $-1\leqslant x$, $y$, $z\leqslant1$ необходимые и достаточные для существования этих векторов. Это легко. Аналогично, в $\mathbb{R}^n$. И самое интересное при $n\to \infty$.
Из математиков неравенствами Белла много занимался А.Ю. Хренников http://w3.msi.vxu.se/Personer/akhmasda/home.html . Он видел эту теорему (но не проверял доказательство) и даже давал рекомендации по ее публикации. Так, что если найдутся желающие что-нибудь доказать на эту тему и стать соавторами, то милости просим.

[PAV]

Возвращено (я еще ссылку первую поправлю)

[В.О.]

Хорошо, зайдем с другой стороны. Нас уверяют, что мы живем в $\mathbb{R}^3$. Как это проверить? Можно строить всевозможные прямоугольные треугольники и проверять теорему Пифагора. Но так нужно измерять и расстояния и углы, накапливается погрешность и т.п. Поставим себе цель проверить евклидовость локально вблизи начала координат и измерять при этом только углы.
Возьмем три произвольных вектора $ u,v,w$ единичной длинны, выходящих из начала координат $ u = (u_1, u_2, u_3) $, $ v = (v_1, v_2, v_3) $, $ w = (w_1, w_2, w_3) $.
Косинусы углов между ними обозначим $ x = (u, v) $, $ y = (u, w) $, $ z = (v, w) $. Это аналоги ковариаций между случайными величинами.
Векторы $ u,v,w$ могут располагаться в произвольных направлениях. Но углы между ними уже не могут быть произвольными. Точнее, угол между $ u$ и $ v$ можно выбрать произвольным. Между $ v$ и $ w$ тоже можно выбрать произвольным. Но угол между $ u$ и $ w$ уже не будет произвольным и должен удовлетворять некоторым ограничениям.
Это ограничение можно получить исходя из неравенства треугольника, записанного для трех точек, которые являются концами векторов $ u,v,w$.
Три числа $\left| u - v \right|$, $\left| u - w\right|$, $\left| v - w \right| $ являются длинами сторон некоторого треугольника в том и только в том случае, если удовлетворяют трем неравенствам треугольника:
$ \left| u - v \right| - \left| v - w \right|} \right \leqslant \left| u - w\right| \leqslant \left| u - v \right| + \left| v - w \right|$.
У нас по теореме косинусов
$\left| u - v \right|^2 = 2 - 2(u, v) = 2 - 2x $,
$\left| u - w\right|^2 = 2 - 2(u, w) = 2 - 2y $,
$\left| v - w \right|^2 = 2 - 2(v, w) = 2 - 2z $.
Подставляем и получаем:
$| \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 - z} \right|| \leqslant \sqrt{1 - y}\leqslant \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 - z}$.
Эти три неравенства будут необходимым и достаточным условием для того, чтобы числа $ x,y,z$, были косинусами углов между некоторыми тремя векторами, выходящими из одной точки.
Если кто-то измерит углы между тремя векторами в реальности, и окажется, что неравенства не выполняются, то он живет не в евклидовом пространстве. Эти неравенства являются точным аналогом неравенств Белла. Только неравенства Белла проверяют не пространство на евклидовость, а вероятность на Колмогоровость.
Вопрос 1. Что будет в $\mathbb{R}^n$ ?
Вопрос 2. Можно ли получить аналогичные неравенства в Гильбертовом пространстве, которые проверяли бы пространство на Гильбертовость?
PS Это сообщение является импровизацией и в нем могут быть ошибки.

[STilda]

Тоесть общая схема такая:
1. Есть некоторые объекты $u,v,w,...$
2. Есть некоторые наблюдаемые величины, которые моделируются функциями от этих объетов $x,y,z,...$
3. Проверяем некоторые условия на наблюдаемых величинах, выполняются они или нет.
4. Делаем выводы про величины $u,v,w,...$, их пространство.
Так?

[Munin]

STilda
Лучше читайте про неравенства Белла в нормальных источниках. Здесь отсебятина.

[В.О.]

u, v, w - случайные величины. Векторы в гильбертовом пространстве.
x, y, z - косинусы углов между ними.
Все это можно представлять как три единичных вектора, выходящих из начала координат.

В каком-то смысле любая самостоятельно доказанная теорема есть отсебятина. Так что г-н Munin абсолютно прав. Но нужно сказать, что изложение общих фактов, приведенное здесь, следует статьям в российских и зарубежных журналах. Ссылки нужны?

Munin в сообщении #421221 писал(а):

Здесь отсебятина

[В.О.]

Ссылки не нужны.
Это дает основание предположить, что г. Munin недостаточно компетентен в теме и, вообще, недостаточно зрел для обсуждения подобных вопросов.

[Munin]

В.О. в сообщении #422040 писал(а):

Это дает основание предположить, что г. Munin недостаточно компетентен в теме и, вообще, недостаточно зрел для обсуждения подобных вопросов.

:-)

[Anatol148]

В.О. Очень просто и понятно приводит суть и доказательства Белла. Хорошо!

[Someone]

В.О. в сообщении #412206 писал(а):

Теорема.
Необходимым и достаточным условием существования трех двухзначных с.в. $u$, $v$, $w = ±1$ с ковариациями $-1\leqslant x$, $y$, $z\leqslant1$ является выполнение следующих четырех неравенств.
$1 + x + y + z \geqslant 0$,
$1 + x - y - z \geqslant 0$,
$ 1 - x - y + z \geqslant 0$,
$ 1 - x + y - z \geqslant 0$.
Первое неравенство, судя по всему, является новым. Остальные три являются неравенствами Белла.
Доказательство я приведу, если хоть одна душа выразит желание его увидеть. Оно совершенно элементарно и доступно третьекурснику.

Ну, необходимость первого неравенства здесь совершенно очевидна: например, возьмём второе неравенство, которое уже доказано, применим его к случайным величинам $u$, $v$, $-w$ и получим первое. Аналогично из второго же неравенства выводятся третье и четвёртое.
А вот достаточность интереснее. Но тоже достаточно просто. Рассмотрим совместное распределение случайных величин $u$, $v$, $w$. Обозначим $p_{ijk}\geqslant 0$ вероятность того, что $u=2i-1$, $v=2j-1$, $w=2k-1$. Таким образом, значениям случайных величин $-1$ и $1$ соответствуют значения индексов $0$ и $1$. Сумма всех вероятностей, естественно, равна $1$. Вычисляя математические ожидания попарных произведений, которые совпадают с ковариациями, если хотя бы одно из математических ожиданий случайных величин в каждой паре равно $0$, получим систему уравнений:

$$\begin{cases}p_{000}+p_{001}+p_{010}+p_{011}+p_{100}+p_{101}+p_{110}+p{111}=1,\\ p_{000}+p_{001}-p_{010}-p_{011}-p_{100}-p_{101}+p_{110}+p{111}=x,\\ p_{000}-p_{001}-p_{010}+p_{011}+p_{100}-p_{101}-p_{110}+p{111}=y,\\ p_{000}-p_{001}-p_{010}+p_{011}+p_{100}-p_{101}-p_{110}+p{111}=z.\end{cases}\eqno(1)$$

Здесь четыре уравнения для восьми неизвестных, так что будет не менее четырёх свободных переменных. Я ничего не упустил?
Вычисляя комбинации $1+x+y+z$, $1+x-y-z$, $1-x+y-z$, $1-x-y+z$, получим

$$\begin{cases}4(p_{000}+p_{111})=1+x+y+z,\\ 4(p_{001}+p_{110})=1+x-y-z,\\ 4(p_{010}+p_{101})=1-x+y-z,\\ 4(p_{100}+p_{011})=1-x-y+z.\end{cases}\eqno(2)$$

Легко заметить, что все четыре неравенства сразу же следуют из равенств (2) и неотрицательности вероятностей. Без каких-либо интегралов.
Наоборот, если указанные неравенства выполняются, и учитывая, что $-1\leqslant x\leqslant 1$, $-1\leqslant y\leqslant 1$, $-1\leqslant z\leqslant 1$, получим, что

$$\begin{cases}0\leqslant p_{000}+p_{111}=\frac 14(1+x+y+z)\leqslant 1,\\ 0\leqslant p_{001}+p_{110}=\frac 14(1+x-y-z)\leqslant 1,\\ 0\leqslant p_{010}+p_{101}=\frac 14(1-x+y-z)\leqslant 1,\\ 0\leqslant p_{100}+p_{011}=\frac 14(1-x-y+z)\leqslant 1,\end{cases}\eqno(3)$$

причём, сумма правых частей равенств равна $1$.
Пользуясь выражениями (3), легко подобрать требуемое совместное распределение случайных величин $u$, $v$, $w$.
Поскольку ковариация $u$ и $v$ равна $\mathbf M(uv)-\mathbf Mu\cdot\mathbf Mv$, величины $x$, $y$, $z$ действительно будут ковариациями, если хотя бы два из трёх математических ожиданий $\mathbf Mu$, $\mathbf Mv$, $\mathbf Mw$ будут равны $0$. Чтобы не возиться, можно взять

$$\begin{cases}p_{000}=p_{111}=\frac 18(1+x+y+z),\\ p_{001}=p_{110}=\frac 18(1+x-y-z),\\ p_{010}=p_{101}=\frac 18(1-x+y-z),\\ p_{100}=p_{011}=\frac 18(1-x-y+z).\end{cases}\eqno(4)$$

Тогда случайные величины $u$, $v$, $w$ будут принимать свои значения $-1$ и $1$ с одинаковыми вероятностями, и математические ожидания будут равны $0$.

В.О. в сообщении #413245 писал(а):

Хорошо, зайдем с другой стороны. Нас уверяют, что мы живем в $\mathbb{R}^3$. Как это проверить? Можно строить всевозможные прямоугольные треугольники и проверять теорему Пифагора. Но так нужно измерять и расстояния и углы, накапливается погрешность и т.п. Поставим себе цель проверить евклидовость локально вблизи начала координат и измерять при этом только углы.

Я не понял, что именно Вы хотите проверять. Евклидовость? Или трёхмерность? Или и то, и другое сразу?

В.О. в сообщении #413245 писал(а):

Вопрос 1. Что будет в $\mathbb{R}^n$ ?
Вопрос 2. Можно ли получить аналогичные неравенства в Гильбертовом пространстве, которые проверяли бы пространство на Гильбертовость?

Собственно, в $\mathbb R^n$, $n\geqslant 3$, и в гильбертовом пространстве будет всё то же самое, что и в $\mathbb R^3$. По банальной причине: любые три вектора заведомо содержатся в каком-нибудь трёхмерном подпространстве.

[sergei1961]

Munin - где прочитать в нормальных источниках?
Ссылка на Хренникова нерабочая.

[Munin]

Сегодня вполне сгодится
https://en.wikipedia.org/wiki/Bell's_theorem#Bell_inequalities
+ ссылки на литературу в этой статье.