Это совершенно элементарная вещь, доступная третьекурснику. Но в физике применяется для серьезных вещей по экспериментальному доказательству не применимости теории вероятностей в квантовой механике
Неравенства БеллаРассмотрим неравенства с математической точки зрения. Пусть результате некоторого эксперимента измеряются три случайных двухзначных (т.е. принимающих только два значения
или
) величины
Здесь
,
- вероятностное пространство с вероятностной мерой
.
Ковариациями случайных величин будем называть числа
,
,
.
При этом числа
,
,
не могут быть произвольными и должны удовлетворять т.н. неравенствам Белла:
,
,
.
Реально в физике могут применяться несколько другие, но очень близкие и такие же элементарные неравенства.
Вот доказательство самого Белла. Область интегрирования
и переменную интегрирования
в дальнейшем для краткости писать не будем.
.
Очевидно, что три неравенства Белла эквивалентны следующим трем неравенствам, которые назовем неравенствами В.
,
,
.
Если измеренные в эксперименте ковариации
,
,
не удовлетворяют этим неравенствам, то считается, что теория вероятностей не выполняется, что в квантовой механике и имеет место. Т.е. неравенства В являются необходимым условием для того, чтобы числа
,
,
были ковариациями некоторых трех случайных двухзначных величин
,
,
. Этого физикам, вроде бы, хватает для счастья. Но математик сразу же должен спросить строгим голосом, а не являются ли неравенства В и достаточным условием? Ответ очевиден – нет. Ковариации
,
,
удовлетворяют неравенствам В, но три с.в. с такими ковариациями не существуют. Но, может быть, можно к неравенствам В добавить еще какое-нибудь условие, так, чтобы все это стало необходимым и достаточным? В настоящее время, судя по всему, такого условия не известно. Именно такое условие я и хочу предложить к обсуждению.
Теорема.
Необходимым и достаточным условием существования трех двухзначных с.в.
,
,
с ковариациями
,
,
является выполнение следующих четырех неравенств.
,
,
,
.
Первое неравенство, судя по всему, является новым. Остальные три являются неравенствами Белла.
Доказательство я приведу, если хоть одна душа выразит желание его увидеть. Оно совершенно элементарно и доступно третьекурснику.
Тут возникают аналогичные вопросы. Пусть
,
,
три вектора в
. Найти соотношения между косинусами углов между ними
,
,
необходимые и достаточные для существования этих векторов. Это легко. Аналогично, в
. И самое интересное при
.
Из математиков неравенствами Белла много занимался А.Ю. Хренников
http://w3.msi.vxu.se/Personer/akhmasda/home.html . Он видел эту теорему (но не проверял доказательство) и даже давал рекомендации по ее публикации. Так, что если найдутся желающие что-нибудь доказать на эту тему и стать соавторами, то милости просим.