Всеукраинская студенческая олимпиада

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

TOTAL писал(а):

Обосновать, что $p$ и $q$ однозначно находятся из системы?
$a=p+3q$
$b=p+9q$

Нет. Обосновать, что найдутся числа $p,q \in \mathbb{R}$, такие что $a_n = p + q3^n$.

Потому, что на самом деле $a_n=C_1\cdot1^n+C_2\cdot3^n$, где $C_1$ и $C_2$ -- это произвольные постоянные в общем решении линейного однородного разностного уравнения. Эти константы можно подогнать под любую пару начальных данных. Матрицы тут не при чём.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

TOTAL писал(а):

Обосновать, что $p$ и $q$ однозначно находятся из системы?
$a=p+3q$
$b=p+9q$

Нет. Обосновать, что найдутся числа $p,q \in \mathbb{R}$, такие что $a_n = p + q3^n$.

Потому, что на самом деле $a_n=C_1\cdot1^n+C_2\cdot3^n$, где $C_1$ и $C_2$ -- это произвольные постоянные в общем решении линейного однородного разностного уравнения. Эти константы можно подогнать под любую пару начальных данных. Матрицы тут не при чём.

Ну я ведь не спорю с тем, что задачу можно решить без матриц. Однако согласитесь, что и с матрицами тоже можно. Нужно всего лишь заметить, что рассмотрев умножение на матрицу, мы получаем геометрическую прогрессию.

А шо такое разностная схема (разностное уравнение?) я, увы, не помню. Более того, закончив универ со средним баллом 4.85, я имел в дипломе одну тройку --- по вычметодам. Уж больно нелюбим мною и гадок для меня сей предмет

[ewert]

General писал(а):

8.Найти несобственный интеграл $\int\limils_{0}^{+\infty} \left(\frac{1}{1+x^\alpha} - \frac{1}{1+x^\beta}\right)\frac{1}{x}dx $, где $\alpha, \beta \in R, \alpha>0, \beta>0$ , . (8 баллов)

Симпатичная задачка. Надо, собственно, доказать, что этот интеграл тождественно равен нулю. Решение: интеграл от единицы до бесконечности переходит в интеграл от нуля до единицы (только с противоположным знаком) после замены $x={1\over t}$.

Добавлено спустя 14 минут 25 секунд:

Профессор Снэйп писал(а):

А шо такое разностная схема (разностное уравнение?) я, увы, не помню. Более того, закончив универ со средним баллом 4.85, я имел в дипломе одну тройку --- по вычметодам. Уж больно нелюбим мною и гадок для меня сей предмет

а то можно подумать, что я систематически разностные уравнения изучал. Но теория линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами -- очень простая и красивая штука. Эти уравнения определяются так:

$$a_0x_i+a_1x_{i+1}+\dots a_nx_{i+n}=0$$

("уравнение порядка $n$"). Теория полностью аналогична соотв. теории для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Игра строится на том, что базисные решения ищутся (как там в экспоненциальном виде) в виде геометрических прогрессий с фиксированным знаменателем. При подстановке в исходное уравнение естественным образом выплывает уравнение характеристическое. Как и в случае дифуров, при появлении кратных корней надо в качестве недостающих решений добавить уже найденные экспоненты, домноженные на степени независимой переменной (в роли которой тут выступает индекс).

Почему эти уравнения обзываются разностными? -- честно скажу, не знаю. Скорее всего потому, что такие уравнения возникают совершенно естественным образом при попытке аппроксимировать реальные дифуры конечными разностями.

Добавлено спустя 1 час 27 минут 21 секунду:

General писал(а):

6. Какие числовые значения может принимать $\lim\limits_{n \to \infty}\left(\frac{x+a^2}{x+b^2}\right)^x$, если $4a^2+b^2+2b\leqslant 3.(6 баллов)

Переводим на русский язык. Есть эллипс: $4x^2+y^2+2y\leqslant 3. И есть гипербола: $x^2-y^2=c. И есть вопрос: при каких $c$ сия гипербола пересекается с эллипсом? -- и дополнительный вопрос: почему именно шесть баллов?

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

General писал(а):

6. Какие числовые значения может принимать $\lim\limits_{n \to \infty}\left(\frac{x+a^2}{x+b^2}\right)^x$, если $4a^2+b^2+2b\leqslant 3.(6 баллов)

Переводим на русский язык. Есть эллипс: $4x^2+y^2+2y\leqslant 3. И есть гипербола: $x^2-y^2=c. И есть вопрос: при каких $c$ сия гипербола пересекается с эллипсом? -- и дополнительный вопрос: почему именно шесть баллов?

А я вообще не понял: предел при $n \to \infty$ или при $x \to \infty$?

[ewert]

да при иксах, конешно, наборщики просто зевнули

[General]

Спасибо, поправил.
Просто взял шаблон оформления лимита, а параметр сменить забыл

[Профессор Снэйп]

General писал(а):

Спасибо, поправил.
Просто взял шаблон оформления лимита, а параметр сменить забыл

Там много что надо править, а не только "оформление лимита" Вы бы перечитали то, что написано.

[General]

ухх!
глянул свежим взглядом - спасибо, что обратили внимание.
Просто хотел сразу после олимпиады, как только приехал домой, выложить задания и заодно разобраться с тегом [math]

[Pyphagor]

General писал(а):

5. Найти все функции $f:R\to R$, которые при любых действительных x, y удовлетворяют уравнению $f\left(x-f(y)\right)=1-x-y$ (4 балла)

Тоже устная $f(x)=\frac{1}{2}-x$

General писал(а):

7.Известно, что функция $f(x)$ непрерывна на отрезке [0;1] дифференцируется на промежутке (0;1), $f(0)=4, f(1)=2, f’(x) \geqslant -2$ на всём промежутке [0;1]. Найти функцию $f(x)$ и доказать, что других функций, удовлетворяющих условиям, не существует. (8 баллов)

$f(x)=-2x+4$ - очевидно удолетворяет условиям.
$F(x)=g(x)+2x-4$
$F(0)=F(1)=0; 0 \le F'(x) $ на $[0;1]$ $\Rightarrow F(0) \le F(x) \le F(1)$ на $[0;1]$

[ET]

General писал(а):

2. На всех сторонах выпуклого шестиугольника $A_1A_2…A_6$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $A_1A_2B_6, A_2A_3B_1, A_3A_4B_2, … A_6A_1B_5$. Доказать, что $\overline{A_1B_1} + \overline{A_2B_2} + … + \overline{A_6B_6} = \overline{O} $ (5 баллов)

Имхо просто
Сначала заметим, что $\overline{A_1A_2} + \overline{A_2A_3} + … + \overline{A_6A_1} = \overline{O} $ (1)
Переходим в комплексную область (каждому вектору $(x,y)$ стависм в соотвектствие число $z=x+iy$)
Комплексные числа в равенстве (1) обозначим $z_i$ тогда неравенство 1 означает, что
$z_1+z_2+z_3+z_4+z_5+z_6=0$ (2)
Заметим, что вектору $\overline{A_iB_i}$ соответствует число $z_i \alpha$, где
$\alpha=\frac 1 2+i \frac {\sqrt 3} {2}$, если обход $A_1A_2…A_6$ по часовой стрелке
и $\alpha=\frac 1 2-i \frac {\sqrt 3} {2}$ Если он против часовой
Ну а дальше берем равенство (2), умножаем его на $\alpha$ и получаем то, что надо

ЗЫ перечитал еще раз условие. А зачем тут выпуклость?

[TOTAL]

ET писал(а):

Заметим, что вектору $\overline{A_iB_i}$ соответствует число $z_i \alpha$

Вектору $\overline{A_iB_i}$ соответствует число $z_i + z_{i+1} \alpha$.
Можно и без выпуклости, можно даже перехлёстнутый 6-угольник
(только тогда при обходе периметра надо строить правильные треугольники всегда справа/слева от очередной стороны)

[antbez]

5 Т
$f=1+x$
Других решений пока не вижу

[arqady]

General писал(а):

2. На всех сторонах выпуклого шестиугольника $A_1A_2…A_6$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $A_1A_2B_6, A_2A_3B_1, A_3A_4B_2, … A_6A_1B_5$. Доказать, что $\overline{A_1B_1} + \overline{A_2B_2} + … + \overline{A_6B_6} = \overline{O} $ (5 баллов)

Задача, конечно простая, но хочется вставить и свои пять копеек:
Пусть

$$R^{60^{\circ}}$$

поворот на

$$60^{\circ},$$

$$A_7\equiv A_1$$

и

$$A_8\equiv A_2.$$

Тогда

$$\sum_{i=1}^6\vec{A_iB_i} =\sum_{i=1}^6\left(\vec{A_iA_{i+1}}+\vec{A_{i+1}B_i}\right)=\sum_{i=1}^6\left(\vec{A_iA_{i+1}}+R^{60^{\circ}}\left(\vec{ A_{i+1}A_{i+2}}\right)\right)= \overline{O} +R^{60^{\circ}} \left(\overline{O}\right) = \overline{O} .$$

[Pyphagor]

General писал(а):

6.Функция $f(x)$ удовлетворяет условиям: $f(1)=1, f’(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x), }$. Доказать, что существует $ \lim\limits_{n \to \infty} f(x)$ и что этот предел не больше $1+\frac{\pi}{4}$ . (6 баллов)

Решение.
Рассмотрим $a_{n}=f(n+1)-f(n)$. Применяя теорему Лагранжа, получим
$0 \le a_{n}=f'(z_{n})= \frac{1}{(z_{n})^2+(f(z_{n}))^2} \le \frac{1}{n^2}; z_{n} \in [n;n+1]$
Поэтому ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$$

сходится , а значит
существует предел $\lim\limits_{n \to \infty} f(n)$, как предел частичных сумм ряда.
Теперь легко показать, что $f(x)$ ограничена и существует $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$
(благодаря возрастанию на $[1;\infty]$)
Рассмотрим $F(x)=arctgx-f(x); F'(x) \ge 0$ при $x\ge 1$ $\Rightarrow F(x) \ge F(1)$ при $x \ge 1$
Переходя к пределу в нер-ве:
$f(x) \le arctgx - F(1)$;
$ \lim\limits_{x \to \infty} f(x) \le \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - 1) = \frac{\pi}{4} + 1$.

[ET]

Профессор Снэйп писал(а):

General писал(а):

4. Последовательность $\left\{a_n\right\}, n\in N$, задана с помощью рекуррентной формулы $a_n=4a_{n-1}-3a_{n-2}, n \geqslant 3, a_1=a, a_2=b$. Найти $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}$

Тоже довольно стандартная задача.

Имеем...

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{a_2-a_1}{6} = \frac{b-a}{6} $$

Угу . Показалось что халява, проверил себя не забыл ли такое решать, Именно так и решил и такой ответ и получил, странный уровень олимпиад для студентов.