2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 12:10 


29/07/08
536
Треугольник имеет углы $\alpha, \beta, \gamma$.
Найти отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 13:23 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
$$\frac{R}{r}=\frac{R}{\frac{2S}{a+b+c}}=\frac{R(a+b+c)}{4R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 14:08 


29/07/08
536
И я также решал. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 15:36 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
Побережный Александр в сообщении #1225373 писал(а):
И я также решал. :D

В Википедии есть более красивая формула:
$\frac{r}{R}=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1$.

Но я не знаю, из каких соображений ее можно вывести... :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Только немножко наоборот: отношение радиусов вписанной и описанной окружности равно сумме косинусов без единички. Мне нравится симпатичная предельная геометрическая интерпретация: если взять маленький кружок и описать около него очень тупоугольный треугольник, то радиус описанной окружности будет очень большим. Отношение будет стремиться к нулю с увеличением тупоугольности. Два косинуса будут стремиться к единичке, один к минус единичке, а всё выражение тоже к нулю.
Выводится сзаду наперёд с помощью теоремы косинусов и, возможно, формулы Герона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 16:32 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
gris в сообщении #1225399 писал(а):
немножко наоборот

Спасибо, поправил!
Это моя рассеянность... :facepalm:
И всё равно:
полчаса мне не хватило, чтобы вывести ее
gris в сообщении #1225399 писал(а):
с помощью теоремы косинусов и, возможно, формулы Герона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Ну это метод самый прямой и тупой. Просто в равенстве оставляем только стороны и получаем справа и слева многочлены четвёртой степени. Главное — внимательно раскрывать скобки. Любопытные школьники помнят такое множество соотношений в треугольнике, что легко выводят любые формулы за пару шагов. Потом за этим делом надо лезть в справочники, и становится не очень интересно. Мне нравится, когда есть наглядная иллюстрация формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 18:18 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Это формула Карно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Если умножить на $R$ и перенести его в левую часть, и увидеть на чертеже вписанные и центральные угла, опирающиеся на стороны, то будет равенство суммы радиусов и суммы расстояний (со знаками) от центра описанной окружности до сторон. То есть из формулы Карно формула с косинусами очень наглядно выводится. А как доказать ФК?
Впрочем, доказать уже готовую формулу не так сложно, как её получить из ниоткуда. Вот это завораживает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение15.06.2017, 07:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
$$a=c\cos\beta+b\cos\gamma$$
$$b=\dots$$
$$c=\dots$$
Поэтому
$$(a+b+c)(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1)=a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma = \frac2R \cdot \frac12  (aR\cos\alpha+bR\cos\beta+cR\cos\gamma)=\frac{2}{R} \cdot S$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group