Отношение радиусов

[Побережный Александр]

Треугольник имеет углы $\alpha, \beta, \gamma$.
Найти отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.

[arqady]

$$\frac{R}{r}=\frac{R}{\frac{2S}{a+b+c}}=\frac{R(a+b+c)}{4R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}$$

[Побережный Александр]

И я также решал.

[Лукомор]

Побережный Александр в сообщении #1225373 писал(а):

И я также решал.

В Википедии есть более красивая формула:
$\frac{r}{R}=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1$.

Но я не знаю, из каких соображений ее можно вывести...

[gris]

Только немножко наоборот: отношение радиусов вписанной и описанной окружности равно сумме косинусов без единички. Мне нравится симпатичная предельная геометрическая интерпретация: если взять маленький кружок и описать около него очень тупоугольный треугольник, то радиус описанной окружности будет очень большим. Отношение будет стремиться к нулю с увеличением тупоугольности. Два косинуса будут стремиться к единичке, один к минус единичке, а всё выражение тоже к нулю.
Выводится сзаду наперёд с помощью теоремы косинусов и, возможно, формулы Герона.

[Лукомор]

gris в сообщении #1225399 писал(а):

немножко наоборот

Спасибо, поправил!
Это моя рассеянность...
И всё равно:
полчаса мне не хватило, чтобы вывести ее

gris в сообщении #1225399 писал(а):

с помощью теоремы косинусов и, возможно, формулы Герона.

[gris]

Ну это метод самый прямой и тупой. Просто в равенстве оставляем только стороны и получаем справа и слева многочлены четвёртой степени. Главное — внимательно раскрывать скобки. Любопытные школьники помнят такое множество соотношений в треугольнике, что легко выводят любые формулы за пару шагов. Потом за этим делом надо лезть в справочники, и становится не очень интересно. Мне нравится, когда есть наглядная иллюстрация формулы.

[arqady]

Это формула Карно.

[gris]

Если умножить на $R$ и перенести его в левую часть, и увидеть на чертеже вписанные и центральные угла, опирающиеся на стороны, то будет равенство суммы радиусов и суммы расстояний (со знаками) от центра описанной окружности до сторон. То есть из формулы Карно формула с косинусами очень наглядно выводится. А как доказать ФК?
Впрочем, доказать уже готовую формулу не так сложно, как её получить из ниоткуда. Вот это завораживает.

[TOTAL]

$$a=c\cos\beta+b\cos\gamma$$

$$b=\dots$$

$$c=\dots$$

Поэтому

$$(a+b+c)(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1)=a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma = \frac2R \cdot \frac12 (aR\cos\alpha+bR\cos\beta+cR\cos\gamma)=\frac{2}{R} \cdot S$$