Простой делитель

[Reyg]

Докажите или опровергните следующее утверждение: Среди чисел вида $p, 2(p-1)+1, 3(p-1)+1...n(p-1)+1$, где $p$ - простое, $n$ - натуральное найдётся число которое имеет простой делитель не имеющийся у других.
Из условия нетрудно вывести, что $n\geqslant p+1$ иначе этим самым простым делителем было бы само число $p$.
Пытался доказать что найдется такое $q<n$, что если $s(p-1)+1$ делится на $q$, то $q+s>n$, однако не уверен, что это верно, ибо утверждение задачи не обязательно истинно.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

Reyg в сообщении #1222138 писал(а):

Из условия нетрудно вывести, что $n\geqslant p+1$ иначе этим самым простым делителем было бы само число $p$.

Вот и все. Опровержение состоялось.

[Sinoid]

Reyg в сообщении #1222138 писал(а):

ибо утверждение задачи не обязательно истинно.

А разве это не есть опровержение?

-- 07.06.2017, 22:17 --

Чуть опоздал.

[Reyg]

Не могу понять, ведь может найдётся какое то простое $q$ удовлетворяющее условию.
Объясните пожалуйста, почему опровержение верно?

[provincialka]

Почему "опровержение"? Мне показалось, что это просто очевидный частный случай, который ТС уже разобрал. И хочет исследовать общий.

-- 07.06.2017, 21:25 --

Reyg
А вы распишите подробнее, что там при $n\leqslant p$

[Brukvalub]

Я неаккуратно сформулировал свою мысль. Уточню: уже доказано, что при некоторых натуральных $n$ утверждение верно. Беда в том, что в исходном утверждении не уточняется, должно ли оно выполняться для всех натуральных $n$, или хотя бы для некоторых (можно подставить и квантор всеобщности, и квантор существования). Если там подразумевается квантор всеобщности, то ничего еще не доказано, а если квантор существования - то все сделано.

[provincialka]

А! Вот как! Да, я тоже несколько озадачилась тем, какие же значения принимает $n$. Но думаю все-таки имеется в виду любое (фиксированное) натуральное.

[Reyg]

provincialka в сообщении #1223144 писал(а):

А! Вот как! Да, я тоже несколько озадачилась тем, какие же значения принимает $n$. Но думаю все-таки имеется в виду любое (фиксированное) натуральное.

Да вы правы, $n$ - любое натуральное.

[mihiv]

Пусть при некотором $k_0$ число: $k_0(p-1)+1=q$- простое (такие $k_0$ существуют), тогда, выбирая в качестве $n$ любое из множества $n=k_0, k_0+1,\dots ,k_0+(q-1),$ будем получать наборы чисел, в которых на $q$ делится только $k_0(p-1)+1$.

[Null]

При $p=2$ или $p=3$ утверждение верно, помогает теорема Чебышева.

[mihiv]

Утверждение верно для всех $p$ при $n$ больших некоторого $n_0(p)$, что следует из формулы для числа простых в арифметической прогрессии меньших $x: \pi (x, p-1, 1)=\dfrac x{\varphi (p-1)\ln x}\left (1+O(\dfrac 1{\ln x})\right ), \varphi (p-1)-$функция Эйлера.