Мат. ожидание функции от случайной величины

[Noct]

Пусть Y - случайная величина, известно что
$\ln(Y) \sim N(a, \sigma)$, а нужно найти мат. ожидание и дисперсию Y.
Я пытался рассмотреть случайную величину $Z = \ln(Y)$, тогда

$$M[Y] = M[e^Z] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}e^x e^{- \frac{(x - a)^2}{2 \sigma^2}}dx$$

но что с ним делать я не знаю

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[--mS--]

Noct в сообщении #1225044 писал(а):

но что с ним делать я не знаю

Выделить полный квадрат по $x$ в показателе экспоненты и свести к интегралу Пуассона.

[Noct]

Агась, получилось что-то типо этого

$$e^{\frac{\sigma^4 + 2 a \sigma^2}{2 \sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x - (\sigma^2 + a))^2}{2 \sigma^2}}dx $$

Вроде получилось тоже самое нормальное распределение, только с матожиданием
$e^{\frac{\sigma^4 + 2 a \sigma^2}{2 \sigma^2}} (\sigma^2 + a)$
А как быть с дисперсией?

[provincialka]

Это не матожидание! Где стоит матожидание в формуле плотности "обычного" нормального распределения?

[Noct]

Да, понял что чушь написал, интеграл Пуассона у меня получился равен 1, а значит мат. ожидание просто

$$e^\frac{\sigma^4 + 2 a \sigma^2}{2 \sigma^2}$$

[provincialka]

Впрочем, я не очень вдумывалась в задачу... Это же не нормальное распределение.. Пусть вас--mS-- проверит, она специалист.

[Noct]

Всем спасибо, я вроде разобрался
мат. ожидание действительно

$$M[Y] = e^{\frac{\sigma^2}{2} + a}$$

- проверил маплом, вроде сходится
А для дисперсии посчитал матожидание квадрата получилось $e^{2 \sigma^2 + 2 a}$, в итоге

$$D[Y] = e^{2 \sigma^2 + 2 a} - e^{\sigma^2 + 2 a}$$

, тоже вроде сходится

[--mS--]

Сходится. конечно. Для справок: https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution