Нестандартные модели и основания математики

[Z1X]

mihaild в сообщении #1218509 писал(а):

Под утверждением понимается же замкнутая формула?

Нет, под утверждением понимается утверждение естественного языка.

mihaild в сообщении #1218509 писал(а):

Можно определение "научной формулы"?

Формулы? Нет, нельзя. Критерий научности произносимых фраз (если те фразы претендуют иметь отношение к математике) — формализуемость.

Someone в сообщении #1218508 писал(а):

Нет. Второе требует, как минимум, двухсортной логики. И я не уверен, что это вполне равносильно логике второго порядка.

Зачем двухсортная логика? Пусть есть теория множеств с классами. В формуле $\forall Q \forall x \ x\in Q$ как бы две связанных переменных: "предметная" и "предикатная". Считаем, что "предметная" пробегает классы-множества, "предикатная" — собственные классы. Это можно аккуратно, грамотно и строго записать, и чем тогда это будет не равносильно?

Someone в сообщении #1218508 писал(а):

Со стандартными моделями ZFC вообще всё не ясно.

А что с ними ясно? Я привел определение стандартной модели арифметики первого порядка в некоторой метатеории. В этом контексте ваше заявление Ну, под стандартной моделью арифметики или теории подразумевается некая гипотетическая модель, которая обладает всеми свойствами, которые мы интуитивно ожидаем от натуральных чисел или множеств. Но выразить эти свои смутные желания аксиоматически не можем выглядит несостоятельным. Потому что как раз здесь "свои смутные желания" можно выразить аксиоматически, а доказательство стандартности модели можно свести к синтаксическому выводу с помощью аксиом и правил вывода. Что вы подразумеваете под стандартной моделью ZFC — вы, вероятно, и сами не знаете. По крайней мере, вам не удается ничего про нее объяснить.

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1218508 писал(а):

Ошибка есть. Вы должны были процитировать так, чтобы было видно, кто на самом деле это написал.

Ошибки нет. В данной теме на самом деле это написал Anton_Peplov, и ссылка указана именно на его сообщение. В том сообщении есть своя ссылка, и если кого-то заинтересует, кто был первоначальный автор, то это можно установить.

[kp9r4d]

Z1X в сообщении #1218502 писал(а):

Нет, теории второго порядка всегда можно свести к теориям первого порядка, если воспринимать логику второго порядка как свеого рода теорию множеств.

Define "свести". У теорий первого порядка, даже с несколькими сортами, семантика существенно иная, чем у теорий второго порядка. Если вы этого не понимаете, то проблема явно не моя.

Z1X в сообщении #1218502 писал(а):

А какова вообще интерпретация формул второго порядка, если их не сводить к теоретико-множественным утверждениям?

Формально, интерпретация чего угодно вообще не сводит формулы к утверждениям, потому что "утверждения" - это объекты метатеории.

-- 24.05.2017, 13:14 --

Z1X в сообщении #1218516 писал(а):

Критерий научности произносимых фраз (если те фразы претендуют иметь отношение к математике) — формализуемость.

Сами придумали?

-- 24.05.2017, 13:19 --

Z1X в сообщении #1218516 писал(а):

Зачем двухсортная логика? Пусть есть теория множеств с классами. В формуле $\forall Q \forall x \ x\in Q$ как бы две связанных переменных: "предметная" и "предикатная". Считаем, что "предметная" пробегает классы-множества, "предикатная" — собственные классы. Это можно аккуратно, грамотно и строго записать, и чем тогда это будет не равносильно?

Когда вы выбирате, какие переменные считать "предметными", а какие "предикатными" с той целью, чтобы их потом интерпретировать по разному - то это и есть двухсортная логика.

-- 24.05.2017, 13:23 --

Z1X в сообщении #1218516 писал(а):

Что вы подразумеваете под стандартной моделью ZFC — вы, вероятно, и сами не знаете.

https://mathoverflow.net/questions/1247 ... del-of-zfc

[Z1X]

kp9r4d в сообщении #1218517 писал(а):

Define "свести". У теорий первого порядка, даже с несколькими сортами, семантика существенно иная, чем у теорий второго порядка. Если вы этого не понимаете, то проблема явно не моя.

Нет, сначала define "семантика теорий второго порядка".

kp9r4d в сообщении #1218517 писал(а):

Формально, интерпретация чего угодно вообще не сводит формулы к утверждениям, потому что "утверждения" - это объекты метатеории.

Я спрашиваю, как, по каким правилам интерпретировать формулу $\forall Q \forall x \ Q(x)$, если не заменить ее на эквивалентную формулу $\forall Q \forall x \ x\in Q$. Как вы легко можете понять, с интерпретацией последней нет никаких проблем: для формул первого порядка есть строгое определение.

kp9r4d в сообщении #1218517 писал(а):

Сами придумали?

Гражданин, вы меня немного начинаете утомлять. Разумеется, если я что-то объяснил своими словами, значит это объяснение придумано мной. Но это не значит, что придумка взята с потолка и безосновательна.

kp9r4d в сообщении #1218517 писал(а):

Когда вы выбирате, какие переменные считать "предметными", а какие "предикатными" с той целью, чтобы их потом интерпретировать по разному - то это и есть двухсортная логика.

Когда я выбираю между собственными классами и множествами, зачем мне двухсортная логика? NBG — теория первого порядка. Вы читали предыдущую переписку??

Z1X в сообщении #1218468 писал(а):

вы можете написать $\forall Q \forall x \ Q(x)$, а можете $\forall Q \forall x \ x\in Q$. Это одно и то же.

Someone в сообщении #1218508 писал(а):

Нет. Второе требует, как минимум, двухсортной логики.

Читали ее? Понимаете, о чем речь? Не понимаете? Ваши проблемы.

[kp9r4d]

Z1X в сообщении #1218522 писал(а):

Нет, сначала define "семантика теорий второго порядка".

Z1X в сообщении #1218522 писал(а):

Я спрашиваю, как, по каким правилам интерпретировать формулу $\forall Q \forall x \ Q(x)$, если не заменить ее на эквивалентную формулу $\forall Q \forall x \ x\in Q$. Как вы легко можете понять, с интерпретацией последней нет никаких проблем: для формул первого порядка есть строгое определение.

Как насчёт того, чтобы почитать учебники, или хотя бы обзоры?

Z1X в сообщении #1218522 писал(а):

Читали ее? Понимаете, о чем речь? Не понимаете? Ваши проблемы.

С больной головы на здоровую не нужно. Если логика не двухсортная, то из второй формулы следует $\forall x . x \in x$, например, в первой же даже написать ничего такого нельзя.

-- 24.05.2017, 13:46 --

Z1X в сообщении #1218522 писал(а):

Гражданин, вы меня немного начинаете утомлять. Разумеется, если я что-то объяснил своими словами, значит это объяснение придумано мной. Но это не значит, что придумка взята с потолка и безосновательна.

Ну так надо это в форме мнения тогда высказывать (пусть даже не взятого с потолка и основательного), а не в форме факта.

[Z1X]

kp9r4d в сообщении #1218525 писал(а):

С больной головы на здоровую не нужно. Если логика не двухсортная, то из второй формулы следует $x \in x$, например, в первой же даже написать ничего такого нельзя.

Нет, в NBG нельзя такого написать, если учесть мои оговорки. Если $x$ является собственным классом (то есть не множеством), то он не может ничему принадлежать, в частности самому себе. Потенциальная принадлежность чему-либо — это свойство множеств.

kp9r4d в сообщении #1218525 писал(а):

Ну так надо это в форме мнения тогда высказывать (пусть даже не взятого с потолка и основательного), а не в форме факта.

Слушайте, а есть возможность скрыть все ваши сообщения в этой теме? Это реально будет слишком утомительно разбираться, чем форма факта отличается от формы мнения. Проще будет все это развидеть и не отвлекаться на вас.

[kp9r4d]

Z1X в сообщении #1218529 писал(а):

в NBG нельзя такого написать

Неплохо придумано, то есть вы утверждаете что в NBG записанной в односортной FOL строка $x \in x$ это не wff?

Z1X в сообщении #1218529 писал(а):

Слушайте, а есть возможность скрыть все ваши сообщения в этой теме?

Попробуйте использовать поисковые системы для поиска информации, а то, я гляжу, у вас это плохо получается - за одно и потренируетесь.

[george66]

Давайте объясню технические детали про логику второго порядка. Рассмотрим теорию, в которой есть переменные первого порядка $x,y,z$ и переменные второго порядка $A,B,C$. Для интерпретации мы выбираем некоторое множество-носитель $X$, переменные первого порядка пробегают по множеству $X$, а переменные второго порядка по всем подмножествам $X$. При таком определении интерпретации (или модели) есть непротиворечивые теории второго порядка, не имеющие моделей. Возьмём, например, аксиомы полного упорядоченного поля и добавим новую константу $c$ и бесконечный набор аксиом
$c>0$
$c>1$
$c>2$
$c>3$
и так далее, которые вместе утверждают, что $c$ бесконечно большое число. Известно, что есть ровно одно полное упорядоченное поле (поле действительных чисел) и в нём бесконечно больших чисел нет, поэтому у теории нет модели. Противоречие в ней тоже вывести нельзя, потому что любой вывод противоречия использует только конечное число аксиом. Теперь ослабим понятие интерпретации, не будем требовать, чтобы переменные $A,B,C$ непременно пробегали по ВСЕМ подмножествам. Тогда появляется нестандартная модель (нестандартный действительный ряд, в котором переменные $A,B,C$ пробегают по так называемым внутренним подмножествам, при этом выполнены все аксиомы полного упорядоченного поля, потому что каждое внутреннее подмножество, ограниченное сверху, имеет супремум)

[Z1X]

А, вы, как и подобает троллю, обрезали цитату. Полная фраза такая:

Z1X в сообщении #1218529 писал(а):

в NBG нельзя такого написать, если учесть мои оговорки.

Оговорки состоят в том, что мы находим в теории множеств точные эквиваленты формулам второго порядка. В качестве примера, эквивалентом формулы $\forall Q \forall x \ Q(x)$ является $\forall Q \forall x \ x\in Q$, где $Q$ есть собственный класс. То есть полная форма записи будет $\forall Q \forall x \ (x\in Q \wedge \nexists R \ Q \in R)$. При этом вы утверждаете от моего имени, что строка $x \in x$ это не wff, но разумеется это wff. Однако эта формула не имеет никакого отношения к описанному способу замены формул второго порядка на теоретико-множественные. В начале темы процитирован следующий текст:

Anton_Peplov в сообщении #1218372 писал(а):

Дело в том, что понятие "конечности" множества однозначно выразимо только на языке логики второго порядка

Но именно здесь и кроется парадокс: если конечность множества выразима на языке логики второго порядка, то с тем же успехом она будет выразима на теоретико-множественном языке.

[arseniiv]

Mikhail_K в сообщении #1218480 писал(а):

что бы Вы посоветовали почитать про нестандартные модели, логику второго порядка и другие затронутые в топике темы, более или менее популярное (пусть менее, а не более)?

Немного есть в Булос, Джеффри Вычислимость и логика, в частности конструкция нестандартных моделей арифметики и некоторое их описание, упомянутый аргумент Someone с теоремой о компактности и множестве $\{a\ne0,a\ne0',\ldots\}$, некоторое введение в логику второго порядка (и её важные отличия от первопорядковой). По ней я как раз сам получил некоторое вменяемое представление о логике первого порядка впервые.

[Someone]

Z1X в сообщении #1218539 писал(а):

Но именно здесь и кроется парадокс: если конечность множества выразима на языке логики второго порядка, то с тем же успехом она будет выразима на теоретико-множественном языке.

Этот "парадокс" получается только вследствие придуманного лично Вами утверждения, что логику второго порядка можно заменить теорией множеств первого порядка. Если всякую ерунду не придумывать, то и парадокса не будет.

[Karan]

Стандартная семантика $\forall Q\colon Q(x)$ и $\forall Q\colon x\in Q$ совершенно различна. В первом случае в моделях $x$ должно лежать во всех подмножествах домена, а во втором - только в тех, которые указаны семантикой.
К первому порядку сводится только семантика Генкина для теорий второго порядка, а стандартная семантика, вообще говоря, не сводится.

Z1X в сообщении #1218539 писал(а):

В качестве примера, эквивалентом формулы $\forall Q \forall x \ Q(x)$ является $\forall Q \forall x \ x\in Q$, где $Q$ есть собственный класс. То есть полная форма записи будет $\forall Q \forall x \ (x\in Q \wedge \nexists R \ Q \in R)$.

Это очевидно неверно, некоторые предикаты соответствуют множествам, а не собственным класссам, например $Q(x) \equiv x = a$.

[Z1X]

Karan, семантика действительно различна. Я уже читаю об этом. Постараюсь в ближайшее время дать развернутый ответ.

Karan в сообщении #1218694 писал(а):

Это очевидно неверно, некоторые предикаты соответствуют множествам, а не собственным класссам, например $Q(x) \equiv x = a$.

В формуле $Q(x) \equiv x = a$ одна свободная предикатная переменная $Q$. Какие с ней вообще могут быть проблемы, если заменить ее на эквивалентную теоретико-множественную $x \in Q \equiv x = a$? Как предикаты могут соответствовать множествам — для меня остается загадкой.

[Karan]

Z1X в сообщении #1218712 писал(а):

В формуле $Q(x) \equiv x = a$ одна свободная предикатная переменная $Q$. Какие с ней вообще могут быть проблемы, если заменить ее на эквивалентную теоретико-множественную $x \in Q \equiv x = a$? Как предикаты могут соответствовать множествам — для меня остается загадкой.

Я имею в виду, что там, где Вы пишете "собственные классы", должно быть просто классы, чтобы предикаты $Q$, соответствующие множествам, тоже считались.

[Z1X]

Ладно, я понял теперь, спасибо за пример. Надо говорить, что предикатные переменные пробегают вообще все классы, а не только собственные. Потому что обратного соответствия теории множеств какой-то логике не требуется. Требуется другое: любая аксиома теории второго порядка может быть записана в теории множеств первого порядка. Значит любая теорема второго порядка имеет синтаксическое соответствие в теории множеств и может быть совершенно зеркально доказана: мы просто переписываем тот же вывод с заменой синтаксиса. А вот семантика вследствие такой замены уже получится другая, я согласен с этим.

[epros]

Z1X в сообщении #1218539 писал(а):

epros в сообщении #468564 писал(а):

Дело в том, что понятие "конечности" множества однозначно выразимо только на языке логики второго порядка

Но именно здесь и кроется парадокс: если конечность множества выразима на языке логики второго порядка, то с тем же успехом она будет выразима на теоретико-множественном языке.

Помимо аккуратного указания авторства процитированного текста было бы также неплохо перед тем, как начинать его комментировать, внимательно прочитать. В своё время (а было это 6 лет назад) я не говорил, что понятие конечности множества "выразимо только на языке логики второго порядка". Я говорил, что понятие конечности множества "однозначно выразимо только на языке логики второго порядка". Чувствуете разницу?

Неоднозначность выразимости понятия конечности в логике первого порядка заключается в наличии у выражающей теории не единственной модели, в результате чего конечное в одной интерпретации оказывается бесконечным в другой.