бесконечен ли ряд натуральных чисел?

[Lukin]

svb в сообщении #468146 писал(а):

Некоторые искренне считают, что математические объекты выдуманы человеком, но многие уверены в том, что эти объекты "существуют" вне человеческого сознания и математики только "открывают" их. Слова "бесконечность" и им подобные уже давно изгнаны из математики, т.к. они много вреда в свое время нанесли. Но за пределами математического формализма они существуют и простейшим примером "бесконечного" множества являются натуральные числа. Не нужно быть математиком, чтобы понять, что такое 5 пальцев и связать эту конструкцию с 5-ю огурцами. Это свойство нашего сознания "связывать", например, видеокартинку, поступающую в наш мозг с понятием "мама". "Связывание" или, по-другому, отображение одного "нечто" в другое "нечто" является, пожалуй, основой нашего (и не только нашего) сознания.

Это коллективное человеческое сознание, в котором эти объекты существуют в некотором роде объективно. Открываете Вы их или сами придумываете - разницы почти никакой, это зависит от эпохи, любой другой с тем же успехом откроет или изобретет их. Они все-равно никогда ему принадлежать не будут. Насчет объективности субъективного коллективного сознания можно поспорить, но не в этой теме.

[anik]

anik в сообщении #468405 писал(а):

Если Вы не имеете в виду конкретный ряд натуральных чисел, то я согласен с тем, что нет последнего натурального числа в неопределённом ряду вообще. Подобно тому как в составе вообще (каком-то абстрактном составе) нет последнего вагона.

Прошу прощения,здесь я ошибся. Последний вагон в составе всегда есть, нет определённого номера последнего вагона.

[whitefox]

anik в сообщении #468405 писал(а):

Если Вы не имеете в виду конкретный ряд натуральных чисел, то я согласен с тем, что нет последнего натурального числа в неопределённом ряду вообще.

Иными словами Вы согласны с тем, что неопределённый ряд натуральных чисел бесконечен?

[Kallikanzarid]

anik
Даже работая в топосе $\mathbf{FinOrd}$, вы будете вынуждены хотя бы признать, что ни одна диаграмма типа $n \in \mathbf{FinOrd}$ не будет включать в себя каждый объект этого топоса. Сдавайтесь, надежды нет :)

[EvilPhysicist]

(Оффтоп)

anik не сдастся. Это унизило бы его эго. он сейчас начнёт вам доказывать, что вы не правы, а он Д'артаньян. Так уже было. Вести с ним дискуссию невозможно. Он просто никого не слушает.

[Лукомор]

(Оффтоп)

anik в сообщении #468372 писал(а):

Я видел как-то картинку со слоном, замкнутым самим на себя, Вы не это имеете в виду?

(Оффтоп)

Я имел в виду сферу Римана...

[epros]

Вот философию-то развели... Я вовсе не хочу поддержать anikа, однако в вопросе про бесконечность множества натуральных чисел действительно есть двойное дно (именно в математическом смысле). Дело в том, что понятие "конечности" множества однозначно выразимо только на языке логики второго порядка, в то время как арифметика и теория множеств обычно формализуются в логике первого порядка. Отсюда и возникают неоднозначности в интерпретациях.

Например, если мы хотим сказать, что некий алгоритм завершается за конечное количество шагов, то на языке арифметики первого порядка это запишется примерно так: "Существует такое натуральное число n, которое является номером шага, на котором алгоритм останавливается". Всё просто? Отнюдь. Вопрос в том, что такое "натуральное число". Если это - объект, который определяет арифметика первого порядка, то мы можем вспомнить, что сия теория некатегорична, т.е. у неё есть "нестандартные модели". А это значит, что номером шага, на котором останавливается алгоритм, может оказаться "нестандартное число", что равносильно утверждению о том, что у последнего шага стандартного-то номера как раз и нет, т.е. в стандартном смысле алгоритм не останавливается никогда.

Может быть в некой формализованной теории множеств первого порядка этот казус удастся разрешить? На первый взгляд кажется, что это так. Например, в ZFC стандартное натуральное число можно определить как элемент минимального индуктивного множества. Однако при более детальном копании выясняется, что у самой ZFC есть нестандартные модели, в которых то, что ZFC трактует как "стандартное натуральное число" на самом деле может оказаться нестандартным.

Увы, в логике первого порядка эти проблемы неразрешимы из-за принципиальных ограничений языка. В логике второго порядка они, казалось бы, разрешимы. Но оказывается, что там - свои тараканы: логика второго порядка оччень странная штука... (вроде бы Willard Van Orman Quine где-то даже сказал, что есть основания трактовать логику второго порядка как нечто, в строгом смысле слова "логикой" не являющееся).

[whitefox]

epros в сообщении #468564 писал(а):

А это значит, что номером шага, на котором останавливается алгоритм, может оказаться "нестандартное число", что равносильно утверждению о том, что у последнего шага стандартного-то номера как раз и нет, т.е. в стандартном смысле алгоритм не останавливается никогда.

То есть это множество не конечно! А это опровергает тезис anik.

[epros]

whitefox в сообщении #468577 писал(а):

То есть это множество не конечно! А это опровергает тезис anik.

Да я не против. Я же отметил, что моё выступление - вовсе не в его защиту.

[anik]

bnovikov в сообщении #468150 писал(а):

Обращаю внимание участников дискуссии на давнюю заметку П.К.Рашевского "О догмате натурального ряда"

http://www.mathnet.ru/links/2ca270bd803 ... rm4944.pdf

Может быть, она придаст вашему спору более конструктивный характер.

Прочитал статью П.К. Рашевского, «О догмате натурального ряда», осталось гнетущее впечатление. Если кратко и грубо охарактеризовать: не в ту степь гребёт.
Движение в этом направлении породит дополнительные антиномии и противоречия в математике.
По сути дела, Рашевский, может быть сам того не осознавая, предлагает стереть грань между дискретной и непрерывной моделями. Но, эти две модели принципиально различны и не стыкуются между собой. Природа, по своей сути, дискретна в любом масштабе её рассмотрения: как в микро масштабе, в нормальном «человеческом» масштабе, таки в макро масштабе. Материя не распределена в пространстве в виде какого-то непрерывного киселя без чётких границ, и с плавными, незаметными переходами плотностей от точки к точке.
Видел я как-то плакат (наглядное пособие) по сопромату: там рассматривалось напряжённое состояние в точке. Точка не имеет размеров (как я это понимаю), но имеет форму кубика, на гранях которого изображены нормальные и касательные напряжения.
Представьте такую ситуацию: мы хотим посадить на поле капусту – это дискретная модель, но капусту мы хотим посадить так, чтобы плотность распределения капусты по площади поля была всюду одинакова, и чтобы «капустное пространство» было однородным и изотропным – это непрерывная модель. Кто-нибудь может подсказать мне, как это могло бы быть сделано?
Я не против существования непрерывной модели, но не нужно её навязывать природе с математическим упорством и педантизмом. Факт существования несоизмеримых величин говорит о том, что мы не можем с абсолютной точностью описать непрерывность. Числовая ось в принципе дискретна. Кто-нибудь видел точное представление числа пи? Природа смеётся в этом случае над математическим снобизмом и абсолютизмом. Не надо страдать манией величия. Все наши модели в принципе есть некоторое приближение к реальной действительности и так будет всегда.

-- Пт июл 15, 2011 16:38:22 --

whitefox в сообщении #468436 писал(а):

А раз так, то используем это высказывание как большую посылку, высказывание «не существует последнего натурального числа» -- как малую посылку, и по правилам логики заключаем: «ряд натуральных чисел бесконечен».

Последнее натуральное число в конкретно заданном ряду натуральных чисел всегда существует. Если мы не имеем в виду конкретный ряд натуральных чисел, то и нет конкретного разговора, это разговор ни о чём. Вы можете ответить на вопрос: чему равно количество элементов во множестве? Этот вопрос я уже задавал по поводу числа вагонов в составе, на что мне ответили: предъявите конкретный состав – подсчитаем.

-- Пт июл 15, 2011 16:41:00 --

whitefox в сообщении #468436 писал(а):

А "фиксированный конец" и "последнее натуральное число" это разве не одно и тоже? Определитесь, пожалуйста.

Нет не одно и то же. У ряда натуральных чисел «вообще», нет фиксированного конца, так же как и у множества «вообще» нет фиксированного количества элементов. У конкретно заданного ряда и множества есть конкретное количество натуральных чисел (элементов), и в этом случае у конкретного ряда натуральных чисел всегда есть последнее натуральное число. Например: множество перестановок из трёх различных элементов конечно по количеству элементов (перестановок) в этом множестве. Количество таких перестановок равно шести. Но, здесь опять идет речь о конкретном множестве, а не о множествах вообще.

-- Пт июл 15, 2011 16:45:02 --

whitefox в сообщении #468451 писал(а):

А Вы введите эту программу в машину Тьюринга. Переполнения точно не будет.

Машина Тьюринга – это абстрактная машина. Тьюринг изложил идею организации памяти программ (команд и данных) и модификации этой памяти при записи программ и выполнении этих программ, за что ему большое спасибо. Компьютер, за которым мы работаем, и есть одна из конкретных реализаций идей Тьюринга.
Можно написать программу, по которой последовательность натуральных чисел выводилась бы на экран. Тогда переполнения бы не наступило. Но, эта программа работала бы до тех пор, пока её бы не остановили, или выключили компьютер, или бы компьютер вышел когда-нибудь из строя, или вырубили электричество и т.п. Сколько бы верёвочка ни вилась, а конец когда-нибудь наступит.
Элементарный расчёт показывает, что за 75 лет непрерывного счёта без сна, отдыха и перекура, называя в секунду одно натуральное число, можно досчитать только до двух миллиардов трехсот шестидесяти пяти миллионов двухсот тысяч. (Если предположить, что в каждом году 365 дней).

-- Пт июл 15, 2011 16:50:21 --

whitefox в сообщении #468451 писал(а):

Поясните, пожалуйста, всегда ли $n+1\geqslant n$ или возможно $n+1<n$?

Я не знаю какие конструкции у Вас в голове, но, если под п понимать натуральное число, а под $n+1$ понимать операцию сложения, то $n+1$ всегда будет больше чем $n$ (строгое неравенство)

-- Пт июл 15, 2011 16:51:58 --

Чтобы объекты имело смысл считать они должны быть в некоторой степени однородными. Нельзя считать так: дерево – раз, воздух – два, муравей – три, звезда – четыре, и т.п. Что означает быть однородными? Например, на столе могут находиться самые различные предметы, но имеет смысл считать количество предметов «находящихся на данном столе». Свойство «находиться на данном столе» является характеристическим свойством этих разнородных предметов. С другой стороны, «стеклянные гранёные стаканы» в некоторой степени однородны, но их нет смысла считать, пока мы не ограничим множество всех стаканов дополнительным характеристическим свойством. Есть даже смысл говорить о множестве стеклянных гранёных стаканов, находящихся на данном столе, если на данном столе нет ни одного стакана.
Подумав на эту тему, читатель поймёт, что имеет смысл считать только элементы множества. Если мы предварительно не определим множество, то и считать будет нечего. С другой стороны, множество элементов, которые имеет смысл считать, должно быть не то что конечно, а довольно сильно ограниченно. Кому придёт в голову считать, скажем, количество «песчинок» сахара песка в ведре, если ведро полное. А в пустыне Сахара?

-- Пт июл 15, 2011 16:56:09 --

Множество рыб в озере Байкал на 1 апреля 1913 г.
На первый взгляд может показаться, что это множество могло бы быть определено с точностью до единицы натурального числа. Для того, чтобы имело смысл считать рыбы в озере, элементы множества (рыбы) должны обладать следующими необходимыми свойствами. 1. Все рыбы должны иметь определённое общее внутреннее свойство, позволяющее отличить рыбу от не рыбы. 2. Все рыбы должны иметь определённое общее внешнее свойство, позволяющее отличить рыб подлежащих счёту от рыб, не подлежащих счёту. 3. Все рыбы должны иметь достаточный набор внутренних свойств, чтобы можно было бы отличить одну рыбу (посчитанную) от другой (ещё не посчитанной). Следует заметить, что достаточный набор внутренних свойств у реальных объектов при-роды обеспечен самой природой. В природе не существует двух одинаковых объектов (если они реальны, т.е. материальны и существуют в пространстве и во времени, а не вымышлены). Можно ещё поступить так: наделять специально посчитанную рыбу искусственным свойством, например, метить её (внутреннее свойство), или перемещать её в некоторую область пространства (внешнее свойство), в которой в начале счёта рыб не было. 4. Процесс счета рыб состоит из последовательности однородных операций сопоставления, которые реально осуществляется во времени. Мы с неизбежностью приходим к выводу, что количество рыб необходимо отнести к конечной части (промежутку) времени, в течение которого производился счёт рыб. Что если, в течение времени счёта рыб, во множестве уже подсчитанных рыб произошли такие события: часть рыб скончалась, была проглочена хищными рыбами, часть рыб народилась от живородящих рыб или из икринок. На какой стадии развития рыбы из икринки (или в процессе её рождения, или в процессе гибели), рыбу уже можно назвать рыбой (или ещё можно, а может быть уже, нельзя), если в данный момент времени нам необходимо решить вопрос: подлежит ли эта полурыба счёту или ещё (уже) нет? Далее, как нам точно определить условную границу озера Байкал, чтобы обеспечить выполнение пункта 2, т.е. решить вопрос о том находится ли данная рыба в озере или за его пределами, нужно её считать или нет. Должны ли мы замкнуть границу озера на время счёта, чтобы рыбы её не пересекали?
Читатель, может быть, отнесётся к этому тексту как к шутке, но отсюда можно сделать важный практический вывод: уже становится сомнительным тот факт, что мы сможем определить число рыб в озере Байкал с точностью до единицы. Ещё напрашивается другой вывод: чем точнее мы хотим определить число рыб в озере, тем более хлопотным и дорогим становится процесс счёта. В связи с этим возникает практический вопрос: а нужно ли нам знать число рыб в озере с точностью до единицы, реально ли это вообще?
Это число рыб мы не можем отнести к «моменту» времени, т.к. не можем сосчитать число рыб мгновенно. Число рыб в озере, которое соответствует конечной части времени, мы не можем даже усреднить, поскольку не имеем функциональной зависимости количества рыб от времени. Продолжая счёт рыб, мы не знаем, какие изменения могут произойти за время счёта во множестве уже подсчитанных рыб, и соответствуют ли порядковые числительные сопоставляемые очередной рыбе реальной действительности.
Автор полагает, что число рыб в озере (и вообще на Земле) ограничено, т.е. не бесконечно. Интересно, нуждается ли этот факт в доказательстве?

-- Пт июл 15, 2011 17:20:21 --

whitefox в сообщении #468539 писал(а):

anik в сообщении #468405 писал(а):

Если Вы не имеете в виду конкретный ряд натуральных чисел, то я согласен с тем, что нет последнего натурального числа в неопределённом ряду вообще.

Иными словами Вы согласны с тем, что неопределённый ряд натуральных чисел бесконечен?

В самом начале я говорил о том, что понятие: "ряд натуральных чисел бесконечен" двусмысленно. В том смысле, что ряд не имеет определённого фиксированного конца (фиксированного в смысле, что в конце любого, произвольного ряда должно стоять одно и то же конечное число). В другом же смысле, что количество натуральных чисел бесконечно большое, так я с этим несогласен. Мне скоро надоест это повторять.

[Jnrty]

Jnrty:

Хватит этого антинаучного бреда. В Пургаторий.
Вопрос о блокировании за злокачественное невежество или за троллинг оставлю на усмотрение администрации.

anik в сообщении #468608 писал(а):

Последнее натуральное число в конкретно заданном ряду натуральных чисел всегда существует.

Натуральный ряд, как Вам уже объясняли, - это множество всех натуральных чисел. А то, о чём Вы говорите, обычно называется отрезком натурального ряда (множество натуральных чисел, меньших какого-нибудь выбранного натурального числа). Множество называется конечным, если оно равномощно какому-нибудь отрезку натурального ряда. Весь натуральный ряд не равномощен никакому своему отрезку, поэтому является бесконечным.

anik в сообщении #468372 писал(а):

Someone в сообщении #467953 писал(а):

anik в сообщении #467922 писал(а):

Что же тогда изучает математика, образ мышления отдельных математиков?

Нет. Математика изучает логические конструкции.

Вот только логические конструкции чего? Непонятно.

Не "чего", а "какие". Да в общем-то, какие угодно. Например, вообразим некое множество, элементы которого будем называть натуральными числами. Опишем, какими свойствами, по нашему мнению, они должны обладать: есть натуральное число $1$, для каждого натурального числа $n$ есть следующее за ним (обозначим его $n'$), не существует натурального числа $n$ для которого $n'=1$, есть операции сложения $+$ и умножения $\times$, и т.д. (желательных свойств довольно много; в книжечке Э.Ландау "Основы анализа", которую рекомендовал svb это подробно расписано). В итоге мы получаем то, что в математике называется натуральными числами.

Какое это имеет отношение к счёту объектов природы? Пока никакого. У нас элементы натурального ряда - это не объекты природы, а некие безличные элементы, о которых ничего не известно, кроме тех аксиом, которые мы соизволили сформулировать.
Если же мы хотим использовать натуральные числа для счёта, например, костей домино, то мы располагаем эти кости в ряд, сопоставляем первому элементу ряда натуральное число $1$, следующему за ним - следующее натуральное число $2=1'$, следующему - натуральное число $3=2'$, и так далее, пока не дойдём до последней кости в ряду костей. Соответствующее последней кости число и есть количество костей домино в нашем ряду. Если потребуется считать вагоны в железнодорожном составе, то мы можем поступить так же, так как наши натуральные числа - это не кости домино и не вагоны, а просто абстрактные элементы, сами по себе обладающие лишь свойством различимости и теми свойствами, которыми мы их наделили.
Пропагандируемый Вами подход плох, так как нам придётся использовать одни числа для счёта костей домино, другие - для счёта вагонов, третьи - для счёта людей и т.д.. В некоторых языках, кстати, аналогичная ситуация имеет место: имеются отдельные числа для счёта длинных предметов, отдельные - для счёта круглых, и т.п.. Если Вы хотите использовать натуральные числа для счёта любых объектов, поддающихся счёту, то Вам придётся абстрагироваться от всех свойств этих объектов, кроме различимости, и получившиеся абстрактные "объекты" ни в коем случае не будут объектами природы. В природе нет такого объекта, как "объект вообще". В частности, нет таких объектов природы как "железнодорожный состав вообще" или "кость домино вообще".

svb в сообщении #468443 писал(а):

А то, что для красного словца употребляются слова типа "$n$ стремится к бесконечности", то при "строгом" изложении материала всегда определяют, что подобные слова обозначают. На мех-мате МГУ за подобные вольности языка раньше просто выгоняли с экзамена.

Впервые слышу о таком, хотя учился там более 40 лет назад. Но, разумеется, от студентов требовались не размахивания руками с употреблением слова "стремится", а точные определения. А свою чушь об изгнании бесконечности из математики оставьте при себе. Бесконечные множества никуда не делись даже в конструктивной математике.