2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Взяли шесть натуральных чисел...
Сообщение12.06.2017, 14:40 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Взяли шесть натуральных чисел и для каждых двух записали их сумму. Могло ли оказаться, что все 15 получившихся сумм оканчиваются разными цифрами в 15-ричной записи (другими словами, дают попарно различные остатки при делении на 15)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взяли шесть натуральных чисел...
Сообщение13.06.2017, 04:47 


10/03/17
26
Вроде бы по правилам форума вы должны представить попытки своего решения :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Взяли шесть натуральных чисел...
Сообщение13.06.2017, 05:18 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Albert61
Нет, это правило только для разделов "Помогите решить/разобраться".

 Профиль  
                  
 
 Re: Взяли шесть натуральных чисел...
Сообщение13.06.2017, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Как обычно, задача зовёт обобщение: возьмём $n$ различных (чтобы потом не говорить) натуральных чисел и просуммируем попарно без повторений. Получим $N=n(n-1)/2$ сумм. Вопрос: можно ли найти такие $n$ чисел, что все $N$ сумм по модулю $m$ будут различны.
Ну при $m<N$ Дирихле говорит нет. Конечно, интересен случай $m=N$.
Приведу некоторые соображения. Если $N$ чётно, то количество чётных модулей сумм должно равняться количеству нечётных. При этом чётность модуля суммы равна чётности суммы. Сумма будет чётной, если оба слагаемых одинаково чётны или нечётны. Если нечётных слагаемых $k$, то чётных $n-k$. И должно быть $k(n-k)=N/2$. Это необходимый признак.
Примеры:
$n=2; N=1; (1,2)\to(0)$ Ну это тривиальный случай.
$n=3; N=3; (1,2,3)\to(3,1,2)$ Здесь признак не применим, но решение легко найти.
$n=4; N=6; N/2=3; (1,2,4,6)\to(3,5,1,0,2,4)$ Признак даёт подсказку. $1+3=4;1\cdot3=3$
$n=5; N=10; N/2=5$ Увы, необходимый признак никак не удовлетворить.
$n=6; N=15; $ Здесь признак не применим :-( Нужны другие соображения.
$n=7; N=21; $ Здесь признак не применим :-( Нужны другие соображения.
$n=8; N=28; N/2=14 $ Увы, необходимый признак никак не удовлетворить.

Жаль, что в условии не восемь чисел. Я бы отличился :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Взяли шесть натуральных чисел...
Сообщение13.06.2017, 20:40 


01/11/14
195
Посмотрите здесь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group