Взяли шесть натуральных чисел...

[Ktina]

Взяли шесть натуральных чисел и для каждых двух записали их сумму. Могло ли оказаться, что все 15 получившихся сумм оканчиваются разными цифрами в 15-ричной записи (другими словами, дают попарно различные остатки при делении на 15)?

[Albert61]

Вроде бы по правилам форума вы должны представить попытки своего решения

[atlakatl]

Albert61
Нет, это правило только для разделов "Помогите решить/разобраться".

[gris]

Как обычно, задача зовёт обобщение: возьмём $n$ различных (чтобы потом не говорить) натуральных чисел и просуммируем попарно без повторений. Получим $N=n(n-1)/2$ сумм. Вопрос: можно ли найти такие $n$ чисел, что все $N$ сумм по модулю $m$ будут различны.
Ну при $m<N$ Дирихле говорит нет. Конечно, интересен случай $m=N$.
Приведу некоторые соображения. Если $N$ чётно, то количество чётных модулей сумм должно равняться количеству нечётных. При этом чётность модуля суммы равна чётности суммы. Сумма будет чётной, если оба слагаемых одинаково чётны или нечётны. Если нечётных слагаемых $k$, то чётных $n-k$. И должно быть $k(n-k)=N/2$. Это необходимый признак.
Примеры:
$n=2; N=1; (1,2)\to(0)$ Ну это тривиальный случай.
$n=3; N=3; (1,2,3)\to(3,1,2)$ Здесь признак не применим, но решение легко найти.
$n=4; N=6; N/2=3; (1,2,4,6)\to(3,5,1,0,2,4)$ Признак даёт подсказку. $1+3=4;1\cdot3=3$
$n=5; N=10; N/2=5$ Увы, необходимый признак никак не удовлетворить.
$n=6; N=15; $ Здесь признак не применим Нужны другие соображения.
$n=7; N=21; $ Здесь признак не применим Нужны другие соображения.
$n=8; N=28; N/2=14 $ Увы, необходимый признак никак не удовлетворить.

Жаль, что в условии не восемь чисел. Я бы отличился

[Iam]

Посмотрите здесь.