x^y=y^x+n

[kotenok gav]

Задача такая: Для всех $n<100$ найти хоть одно решение уравнения $x^y=y^x+n$ или доказать что таковых не существует.
Вот что нашел я:

$$3^2=2^3+1$$

$$4^2=2^4+0$$

$$2^5=5^2+7$$

$$2^6=6^2+28$$

$$2^7=7^2+79$$

$$3^4=4^3+17$$

Кто найдет больше?

[wrest]

$n=n^1-1^n+1$ так что подходит любое неотрицательное целое $n$
То есть, решения для любого $n$: $x=n+1, y=1$
$n=47$, тогда $x=48, y=1$ и $48^1=1^{48}+47$

[kotenok gav]

Я забыл написать что я тоже их нашел, и искать надо нетривиальные.

[rockclimber]

kotenok gav в сообщении #1224931 писал(а):

Кто найдет больше?

За вычетом тривиальных случаев (когда $x$ или $y$ равны 1 или $x=y$) других нет. Я нашел этому чудестное доказательство, но поля этой книги слишком малы не уверен в его строгости.

[kotenok gav]

Покажите-ка!

[wrest]

kotenok gav
Если $x$ и $y$ вещественные, то решение найдется для любого $n$.
Если $x$ и $y$ натуральные большие единицы, то до сотни вы нашли все $n$.

[kotenok gav]

Опять забыл сказать... Да, они натуральные, но как доказать что это все $n$ меньшие сотни ($x$, $y$ не обязательно меньше сотни)?

[rockclimber]

kotenok gav в сообщении #1224940 писал(а):

Покажите-ка!

Это нельзя назвать доказательством, скорее, просто наблюдение:
1. С ростом $x$ или $y$ разница между $x^y$ и $y^x$ растет.
2. С ростом разности $x - y$ разница между $x^y$ и $y^x$ так же растет.
Соответственно, надо найти такую пару $x$ и $y$, чтобы $x = y + 1$ и $x^y - y^x > 100$. Это $x=4$ и $y=5$. Далее остается перебрать все варианты, когда одно из чисел не больше четырех (то есть 2, 3 или 4), а второе легко подбирается, начиная с 2.
В принципе, если доказать п. 1 и 2, думаю, утверждение можно считать доказанным...

[kotenok gav]

1. Предположим, растет у. Тогда уменьшаемое - степенная функция, а вычитаемое - показательная. Вывод: разность уменьшается.

[rockclimber]

Утверждения 1 и 2 у меня в предыдущем посте - это одно и то же, на самом деле. Второе необходимое утверждение - при $x = y + 1$ c ростом $x$ разница между $x^y$ и $y^x$ так же растет.

[kotenok gav]

Значит, они оба неправильные .

[rockclimber]

В такой формулировке - да, но я плохо сформулировал. Если все правильно записать, о чем я думаю, то там все нормально должно быть. Сейчас что-то лень, может, попозже

[Лукомор]

По-умничаю немножко:

$1^0=0^1+1$

[wrest]

Ну я думаю план (очень дикий) примерно такой.

С помощью вольфрам альфы находим предел $\lim \limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^{x+\Delta x}-(x+ \Delta x)^x}{\Delta x}=x^x(\ln(x)-1)$, так что этот предел
- больше нуля для $x>e$
- растет при росте $x$

Делаем очень глубокомысленный вывод о том, что функция $f(x,t)=x^{x+t}-(x+t)^x$
- больше нуля для $x>e$ и $t>0$
- растет (и по $x$ и по $t$) везде где $x>e$ и $t>0$ (в том числе при $t=1$).

Далее находим, что $f(4,1)=399>100$, так что начиная с $x=4$ и $y=x+1$ решений $x^y=y^x+n$ где $n<100$ -- нет.

[wrest]

По-человечески надо бы конечно честно посчитать $f'_x(x,1)$ и убедиться что она больше нуля где надо (начиная с $x=e$, например), но у меня просто и элегантно этого сделать не получилось.