2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Функция Дирихле
Сообщение25.05.2008, 11:02 
Аватара пользователя
Пусть
$\chi(x)=\left\{\begin{array}{1}
1,x\in \mathbb{Q},\\
0,x\in {\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}}.
\end{array} \right.
$

В книге наткнулся на утверждение, что эту функцию можно представить в таком виде:
$\chi(x)=\lim\limits_{m\to \infty}\lim\limits_{n\to \infty}cos^{2n}(2\pi xm!)$. Соответственно доказательства этого "очевидного" факта там не было. Сам я его провести не могу. Может кто-нибудь с этим уже встречался?

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 11:05 
Аватара пользователя
Дело в том, что число\[xm!\] с ростом натурального m становится целым тогда и только тогда, когда число x рационально.

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 11:14 
После предельного перехода только по $n$ получаем функцию, равную единице для всех рациональных точек со знаменателями, на который делится данный факториал; во всех остальных точках она равна нулю. По мере роста $m$ подтягиваются и все остальные рациональные точки. Т.е. если обозначить $\chi_m(x)=\lim\limits_{n\to \infty}cos^{2n}(2\pi xm!)$, то последовательность этих функций будет поточечно стремиться именно к функции Дирихле.

----------------------------------------
Обратный слэш вводится как \backslash. Хотя грамотнее, говорят, писать \setminus. Хотя фактически это вроде одно и то же.

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 11:24 
Аватара пользователя
Brukvalub,ewert точно! А $n$ удвоили чтобы обеспечить неотрицательность. Еще один глупый вопрос: мы же не можем поменять местами пределы?

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 11:27 
Аватара пользователя
Нет, тогда внутренний предел перестанет существовать.

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 11:27 
Скорее всего нет -- в иррациональных точках не будет никакой сходимости (хотя, строго говоря, я в этом и не уверен).

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 11:44 
Аватара пользователя
да, действительно, $cos(\infty)$ не опрпеделен. А задачка оказалась не такой уж и сложной как на первый взгляд, спасибо!

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 11:48 
Аватара пользователя
Spook писал(а):
да, действительно, $cos(\infty)$ не опрпеделен.


При чём тут какой-то косинус бесконечности?

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 11:54 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп да, это я глупость сказал, ну вообщем, понятно что $\lim\limits_{m\to \infty}cos^{2n}(2\pi xm!)$ не существует.

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 12:08 
Аватара пользователя
Spook писал(а):
Профессор Снэйп да, это я глупость сказал, ну вообщем, понятно что $\lim\limits_{m\to \infty}cos^{2n}(2\pi xm!)$ не существует.


То, что для некоторых $x$ (например, $x \in \mathbb{Q}$) этот предел существует --- очевидно. А вот то, что для некоторых $x$ сей предел не существует --- непонятно. Если это так, то хотелось бы увидеть доказательство. ewert вот тоже не уверен.

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 12:19 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп ну, если взять иррациональное $x$,то мы получим тот же $cos(\infty)$.
Причем, мы точно знаем, что эта бесконечность не кратна $\pi$.

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 12:22 
Spook писал(а):
Профессор Снэйп ну, если взять иррациональное $x$,то мы получим тот же $cos(\infty)$.
Причем, мы точно знаем, что эта бесконечность не кратна $\pi$.

ну это какой-то уж совсем жаргон, причём точно бессмысленный.

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 12:24 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Spook писал(а):
Профессор Снэйп ну, если взять иррациональное $x$,то мы получим тот же $cos(\infty)$.
Причем, мы точно знаем, что эта бесконечность не кратна $\pi$.

ну это какой-то уж совсем жаргон, причём точно бессмысленный.


ну тогдя я не знаю. Вообще насколько я помню пределы можно менять если функция под ними непрерывна.

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 12:41 
Аватара пользователя
Нужно вспомнить иррациональные обмотки тора, принцип Дирихле и т.п.

 
 
 
 
Сообщение25.05.2008, 12:47 
Аватара пользователя
Brukvalub я про это не знаю, можете ссылку дать? почитаю на досуге после сессии.

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group